Question

如圖，?ABCD中，BD⊥AD，∠A=45°，E、F分別是AB，CD上的點，且BE=DF，連接EF交BD于O．
（1）求證：BO=DO；
（2）若EF⊥AB，延長EF交AD的延長線于G，當FG=1時，求AD的長．

Answer 1

考點：平行四邊形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),等腰直角三角形

專題：

分析：（1）通過證明△ODF與△OBE全等即可求得．
（2）由△ADB是等腰直角三角形，得出∠A=45°，因為EF⊥AB，得出∠G=45°，所以△ODG與△DFG都是等腰直角三角形，從而求得DG的長和EF=2，然后平行線分線段成比例定理即可求得．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴DC=AB，DC∥AB，
∴∠ODF=∠OBE，
在△ODF與△OBE中

∠ODF=∠OBE ∠DOF=∠BOE DF=BE

∴△ODF≌△OBE（AAS）
∴BO=DO；

（2）解：∵BD⊥AD，
∴∠ADB=90°，
∵∠A=45°，
∴∠DBA=∠A=45°，
∵EF⊥AB，
∴∠G=∠A=45°，
∴△ODG是等腰直角三角形，
∵AB∥CD，EF⊥AB，
∴DF⊥OG，
∴OF=FG，△DFG是等腰直角三角形，
∵△ODF≌△OBE（AAS）
∴OE=OF，
∴GF=OF=OE，
即2FG=EF，
∵△DFG是等腰直角三角形，
∴DF=FG=1，
∴DG=

DF2+FG2

=

2

，
∵AB∥CD，
∴

AD

DG

=

EF

FG

，
即

AD

2

=

2

1

，
∴AD=2

2

，

點評：本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)以及平行線分行段定理．