Question

已知：如圖所示Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，D是AB中點(diǎn)，E、F分別是AC、BC邊上的兩動(dòng)點(diǎn)，無論E、F如何運(yùn)動(dòng)，始終保持AE=CF．求證：△DEF是等腰直角三角形．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),等腰直角三角形

專題：證明題

分析：連接CD，易證∠A=∠DCF=45°，AD=CD=BD，即可證明△ADE≌△CDF，可得DF=DE，∠CDF=∠ADE，即可求得∠EDF=90°，即可解題．

解答：證明：連接CD，

∵D是AB中點(diǎn)，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，
∴AD=CD=BD，
∠A=∠DCF=45°，∠ADC=90°，
在△ADE和△CDF中，

AD=CD ∠A=∠DCF=45° AE=CF

，
∴△ADE≌△CDF，（SAS）
∴DF=DE，∠CDF=∠ADE，
∵∠ADE+∠CDE=∠ADC=90°，
∴∠CDF+∠CDE=90°，即∠EDF=90°，
∴△DEF是等腰直角三角形．

點(diǎn)評：本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應(yīng)邊、對應(yīng)角相等的性質(zhì)，本題中求證△ADE≌△CDF是解題的關(guān)鍵．