Question

（1）已知：如圖（1），OA=OB，OC=OD，AD和BC相交于點P．證明：PA=PB．
（2）由（1）中的結(jié)論，你能想到不同于平時用尺規(guī)作角平分線的方法嗎？試在圖（2）中，用尺規(guī)作出∠MON的平分線．（保留作圖痕跡，不寫作法）

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),作圖—基本作圖

專題：

分析：（1）根據(jù)SAS證明△OAD≌△OBC，再由AAS證明△APC≌△BPD，從而得出PA=PB；
（2）用尺規(guī)作圖法作角平分線即可．

解答：證明：（1）在△OAD和△OBC中，

OA=OB ∠AOD=∠BOC OD=OC

，
∴△OAD≌△OBC（SAS）．  
∴∠OAD=∠OBC．
∵OA=OB，OC=OD，
∴OA-OC=OB-OD，
即AC=BD．  
∵△OAD≌△OBC，
∴∠OAD=∠OBC，
在△APC和△BPD中，

∠APC=∠BPD ∠PAC=∠PBD AC=BD

∴△APC≌△BPD（AAS）．  
∴PA=PB；
（2）以O(shè)為圓心，一定長為半徑畫弧與角兩邊OM、ON分別交于點A、B，再以O(shè)圓心，一定長為半徑畫弧與角兩邊OM、ON分別交于點C、D，且OC＜OA．連結(jié)BC、AD交于點P，連結(jié)OP，OP即為∠MON的平分線．

點評：本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，判斷兩個三角形全等的方法：SSS，SAS，ASA，AAS，還有直角三角形的判定定理：HL．