Question

7．如圖△ABC，∠ACD是它的一個外角，CF平分∠ACD，BE平分∠ABC，角平分線CF、BE交于點P，連接AP，若∠BPC=24°，則∠CAP的度數(shù)是66°．

Answer 1

分析 根據(jù)角平分線的定義可得∠PBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠PCD=$\frac{1}{2}$∠ACD，根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和可得∠PCD=∠BPC+∠PBC，∠ACD=∠BAC+∠ABC，然后整理得到∠BAC=2∠BPC，過點P作PM⊥BA的延長線于M，作PN⊥BD于N，作PK⊥AC于K，根據(jù)角平分線上的點到腳的兩邊距離相等可得PM=PK=PN，再根據(jù)到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上確定出AP平分∠CAM，根據(jù)互為鄰補角的兩個角的和等于180°求出∠CAM，再求解即可

解答 解：∵CF平分∠ACD，BE平分∠ABC，
∴∠PBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠PCD=$\frac{1}{2}$∠ACD，
由三角形外角性質(zhì)得，∠PCD=∠BPC+∠PBC，∠ACD=∠BAC+∠ABC，
∴∠BPC+∠PBC=$\frac{1}{2}$（∠BAC+∠ABC），
∴∠BAC=2∠BPC=2×24°=48°，
過點P作PM⊥BA的延長線于M，作PN⊥BD于N，作PK⊥AC于K，
∵CF平分∠ACD，BE平分∠ABC，
∴PN=PK，PM=PN，
∴PM=PK，
∴AP平分∠CAM，
∵∠CAM=180°-∠BAC=180°-48°=132°，
∴∠CAP=$\frac{1}{2}$∠CAM=$\frac{1}{2}$×132°=66°．
故答案為：66°．

點評 本題考查了三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和的性質(zhì)，角平分線上的點到腳的兩邊距離相等的性質(zhì)，到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)并作出輔助線是解題的關(guān)鍵．