Question

（本題滿分12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OCDE的三個(gè)頂點(diǎn)分別是C（3，0），D（3，4），E（0，4）．點(diǎn)A在DE上，以A為頂點(diǎn)的拋物線過(guò)點(diǎn)C，且對(duì)稱軸x=1交x軸于點(diǎn)B．連接EC，AC．點(diǎn)P，Q為動(dòng)點(diǎn)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．

（1）填空：點(diǎn)A坐標(biāo)為 ，拋物線的解析式為 ；

（2）在圖1中，若點(diǎn)P在線段OC上從點(diǎn)O向點(diǎn)C以1個(gè)單位／秒的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段CE上從點(diǎn)C向E以2個(gè)單位／秒的速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)隨之停止運(yùn)動(dòng)．連接PQ，是否存在實(shí)數(shù)t，使得PQ所在的直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）在圖2中，若點(diǎn)P在對(duì)稱軸上從點(diǎn)A開(kāi)始向點(diǎn)B以1個(gè)單位／秒的速度運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)P做PF⊥AB，交AC于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)F作FG⊥AD于點(diǎn)G，交拋物線于點(diǎn)Q，連接AQ，CQ．當(dāng)t為何值時(shí)，△ACQ的面積最大？最大值是多少？

Answer 1

（1）點(diǎn)A坐標(biāo)為（1，4），；（2）當(dāng)t=1（s）時(shí)，PQ所在的直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)D；（3）當(dāng)t=2時(shí)，△ACQ的面積最大，最大值是1．

【解析】

試題分析：（1）利用矩形OCDE的三個(gè)頂點(diǎn)分別是C（3，0），D（3，4），E（0，4）和對(duì)稱軸x=1可得點(diǎn)A得坐標(biāo)（1，4），設(shè)拋物線的解析式為 把C（3，0）代入拋物線的解析式，可得a= -1；（2）若PQ所在的直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，因?yàn)镈E//CP，所以△DEQ∽△PCQ，從而可得，解方程即可（3）先求出直線AC的解析式y(tǒng)=﹣2x+6，把P（1，4﹣t），代入可表示出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，用含有t的代數(shù)式表示出S△ACQ=S△AFQ+S△CPQ，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)解答即可．

試題解析：【解析】
（1）∵拋物線的對(duì)稱軸為x=1，矩形OCDE的三個(gè)頂點(diǎn)分別是C（3，0），D（3，4），E（0，4），點(diǎn)A在DE上，∴點(diǎn)A坐標(biāo)為（1，4），設(shè)拋物線的解析式為 把C（3，0）代入拋物線的解析式，可得，解得a=﹣1．故拋物線的解析式為

即；

（2）若PQ所在的直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，因?yàn)镈E//CP，所以△DEQ∽△PCQ，所以, ，，解得（舍去），當(dāng)t=1（s）時(shí)，PQ所在的直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)D．

（3）設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，∵A（1，4），C（3，0），則，解得．

故直線AC的解析式為y=﹣2x+6．

∵P（1，4﹣t），將y=4﹣t代入y=﹣2x+6中，得x=1+，∴Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1+，

將x=1+代入中，得y=4﹣．

∴Q點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4﹣，∴QF=（4﹣）﹣（4﹣t）=t﹣，

∴S△ACQ=S△AFQ+S△CPQ=FQAG+FQDG=FQ（AG+DG）=FQAD=×2（t﹣）=，

∴當(dāng)t=2時(shí)，△ACQ的面積最大，最大值是1．

考點(diǎn)：1．矩形的性質(zhì)；2．待定系數(shù)法；3．相似三角形的判定與性質(zhì)；4．二次函數(shù)的性質(zhì)．