Question

一個(gè)凹四邊形，有三個(gè)內(nèi)角為45°，求證：四邊中點(diǎn)所組成的四邊形是正方形．

Answer 1

考點(diǎn)：中點(diǎn)四邊形

專題：證明題

分析：如圖，連接AC、BD，延長BC交AD于點(diǎn)M，延長DC交AB于N，則易證點(diǎn)C是△ABD的垂心，故AC⊥BD．根據(jù)三角形中位線定理判定四邊形EFGH是菱形，由菱形的一內(nèi)角為直角時(shí)，該菱形為正方形證得結(jié)論．

解答：證明：如圖，在凹四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F、G、H分別是邊AB、AD、DC、BC的中點(diǎn)，∠BAD=∠ABC=∠ADC=45°．
連接AC、BD，延長BC交AD于點(diǎn)M，延長DC交AB于N．
∵∠BAD=∠ABC=45°．
∴AM=BM，∠ABM+∠BAM=90°，
∴∠AMB=90°，即BM⊥AD，
∴∠DCM=∠MDC=45°．
∴△MDC是等腰直角三角形，
∴MC=MD．
在△ACM與△BDM中，

AM=BM ∠AMC=∠BMD=90° MC=MD

，
∴△ACM≌△BDM（SAS），
∴AC=BD．
∵點(diǎn)E、F、G、H分別是邊AB、AD、DC、BC的中點(diǎn)，
∵EF

∥

.

1

2

BD，GH

∥

.

1

2

BD，
∴EF

∥

.

GH，
∴四邊形EFGH是平行四邊形．
同理EH=

1

2

AC，
∴EF=EH，
∴平行四邊形EFGH是菱形．
易證DN⊥AB，又BM⊥AD，
∴點(diǎn)C是△ABD的垂心，
∴AC⊥BD，
則易得 EH⊥HG，
∴菱形EFGH是正方形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了中點(diǎn)四邊形．其中涉及到了菱形的判定與性質(zhì)，三角形中位線定理以及正方形的判定，綜合性比較強(qiáng)，有一定的難度．