Question

閱讀下面材料：

如果一個三角形和一個平行四邊形滿足條件：三角形的一邊與平行四邊形的一邊重合，三角形這邊所對的頂點在平行四邊形這邊的對邊上，則稱這樣的平行四邊形為三角形的“友好平行四邊形”．如圖1 所示，平行四邊形ABCD即為△ABC的“友好平行四邊形”．

請解決下列問題:

（1）仿照以上敘述,說明什么是一個三角形的“友好矩形”；

（2）若△ABC是鈍角三角形，則△ABC顯然只有一個“友好矩形”， 若△ABC是直角三角形，其“友好矩形”有 個；

（3）若△ABC是銳角三角形，且，如圖2，請畫出△ABC的所有“友好矩形”；指出其中周長最小的“友好矩形”并說明理由.

 

 

Answer 1

（1）說明見解析；（2）2；（3）作圖見解析，周長最小的“友好矩形”是矩形ABHK，理由見解析.

【解析】

試題分析：（1）類似“友好平行四邊形”的定義，即可寫出“友好矩形”的定義.

（2）如圖，此時共有2個友好矩形，如圖的BCAD、ABEF．

（3）分別以三角形的一邊當(dāng)矩形的另一邊，過第三個頂點作矩形的對邊，從而畫出矩形，根據(jù)三角形和矩形的面積公式，可知三個矩形的面積相等，設(shè)矩形的面積是S，三角形的三條邊分別是a，b，c．根據(jù)矩形的面積由其中一邊表示出矩形的另一邊，進一步求得其周長，運用求差法比較它們的周長的大�。�

試題解析：（1）三角形的一邊與矩形的一邊重合，三角形這邊所對的頂點在矩形這邊的對邊上.

（2）2；

（3）畫圖如下：

周長最小的“友好矩形”是矩形ABHK. 理由如下：

易知，這三個矩形的面積相等，令其為S，設(shè)矩形BCDE、CAFG及ABHK的周長分別為L1，L2，L3，

△ABC的邊長BC=a，CA=b，AB=c，則：，

∴.

而ab＞S，a＞b，

∴＞0，即.

同理可得，，

∴L3最小，即矩形ABHK的周長最小．

考點：1.新定義和閱讀理解型；2. 矩形的性質(zhì)；3.平行四邊形的性質(zhì)．