Question

在平面直角坐標系中，拋物線過原點O，且與x軸交于另一點A（A在O右側），頂點為B．艾思軻同學用一把寬3cm的矩形直尺對拋物線進行如下測量：
（1）量得OA=3cm；
（2）當把直尺的左邊與拋物線的對稱軸重合，使得直尺左下端點與拋物線的頂點重合時（如圖），測得拋物線與直尺右邊的交點C的刻度讀數(shù)為4.5cm．
艾思軻同學將A的坐標記作（3，0），然后利用上述結論嘗試完成下列各題：
①寫出拋物線的對稱軸；
②求出該拋物線的解析式．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的應用

專題：

分析：①由于O、A關于拋物線對稱軸對稱，且OA=3cm，由此可求得拋物線的對稱軸為x=

3

2

．
②根據(jù)O、A的坐標，可將拋物線解析式設為交點式，在（1）題求得了拋物線的對稱軸，即可得到B、C的橫坐標，分別代入拋物線的解析式中，表示出它們的縱坐標，根據(jù)C、B的縱坐標差為4.5即可列方程求出待定系數(shù)的值，從而確定拋物線的解析式．

解答：解：①∵拋物線過原點O，且與x軸交于另一點A（A在O右側），OA=3，
∴A點坐標為（3，0），
∴拋物線的對稱軸為直線x=

3

2

；

②∵拋物線的對稱軸為直線x=

3

2

，
∴可設拋物線的解析式為y=a（x-

3

2

）²+k，
∴頂點B的坐標為（

3

2

，k）．
如圖1，∵點C的橫坐標為：ON=

3

2

+3=

9

2

，點C在拋物線y=a（x-

3

2

）²+k上，
∴點C的縱坐標為a（

9

2

-

3

2

）²+k=9a+k．
∵MC=4.5，
∴9a+k-k=4.5，
∴a=

1

2

，
將A點坐標（3，0）代入y=

1

2

（x-

3

2

）²+k，
得

1

2

（3-

3

2

）²+k=0，解得k=-

9

8

，
∴拋物線的解析式為y=

1

2

（x-

3

2

）²-

9

8

，即y=

1

2

x²-

3

2

x．

點評：此題主要考查了二次函數(shù)的應用，其中涉及到的知識點有運用頂點式二次函數(shù)的解析式，根據(jù)拋物線的性質運用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)的解析式是解題的關鍵．