Question

如圖1，平面直角坐標(biāo)系中，等腰直角三角板的直角邊BC在x軸正半軸上滑動(dòng)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（t，0），直角邊BC=4，經(jīng)過O、C兩點(diǎn)做拋物線y₁=ax（x-t）（a為常數(shù)，a＞0），該拋物線與斜邊AB交于點(diǎn)E，直線OA的解析式為y₂=kx（k為常數(shù)，k＞0）．
（1）填空：點(diǎn)A的坐標(biāo)為

 

（用含t的代數(shù)式表示）；
（2）若a=

1

4

，隨著三角板的滑動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)E恰好為AB的中點(diǎn)時(shí)，求t的值；
（3）直線OA與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)D，當(dāng)t≤x≤t+4，|y₂-y₁|的值隨x的增大而減小，當(dāng)x≥t+4時(shí)，|y₂-y₁|的值隨x的增大而增大，求a與t的關(guān)系式．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（t，0），以及等腰直角三角形的性質(zhì)可得點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）如圖1，過點(diǎn)E作EK⊥x軸于點(diǎn)K，根據(jù)三角形中位線定理得到E（t+2，2），代入拋物線y1=

1

4

x(x-t)，得到關(guān)于t的方程，解方程即可求解；
（3）如圖2，聯(lián)立

y= 4 t x y=ax(x-t)

，得到點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為

4

at

+t，依題意，得：t+4=

4

at

+t，依此可得a與t的關(guān)系式．

解答：解：（1）∵三角形ABC是等腰直角三角形，直角邊BC=4，
∴AC=4，
∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為（t，0），
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（t，4）．
故答案為：（t，4）；
（2）如圖1，過點(diǎn)E作EK⊥x軸于點(diǎn)K．
∵AC⊥x軸，
∴AC∥EK．
∵點(diǎn)E是線段AB的中點(diǎn)，
∴K為BC的中點(diǎn)，
∴EK是△ACB的中位線，
∴EK=

1

2

AC=2，CK=

1

2

BC=2，
∴E（t+2，2）．
∵點(diǎn)E在拋物線y1=

1

4

x(x-t)上，
∴

1

4

(t+2)(t+2-t)=2，
解得t=2．
（3）如圖2，∵點(diǎn)A（t，4）在直線y₂=kx上，
∴kt=4，解得：k=

4

t

，
∴y2=

4

t

x（k＞0）．
聯(lián)立

y= 4 t x y=ax(x-t)

，即：

4

t

x=ax(x-t)，x=

4

at

+t或x=0（不合題意，舍去）．
故點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為

4

at

+t，
當(dāng)x=

4

at

+t時(shí)，|y₂-y₁|=0，
依題意，得：t+4=

4

at

+t，
解得a=

1

t

．

點(diǎn)評(píng)：考查了二次函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)點(diǎn)有：等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形中位線定理，方程思想的運(yùn)用，關(guān)鍵是作出輔助線，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．