Question

【題目】某數(shù)學(xué)活動(dòng)小組在一次活動(dòng)中，對(duì)一個(gè)數(shù)字問題作如下研究：

（問題發(fā)現(xiàn)）如圖①，在等邊三角形ABC中，點(diǎn)M是BC上任意一點(diǎn)，連接AM，以AM為邊作等邊△AMN，連接CN，判斷CN和AB的位置關(guān)系：　 　；

（變式探究）如圖②，在等腰三角形ABC中，BA＝BC，點(diǎn)M是BC邊上任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)B，C），連接AM，以AM為邊作等腰三角形AMN，使頂角∠AMN＝∠ABC，MA＝MN，連接CN，試探究∠ABC與∠ACN的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

（解決問題）如圖③，在正方形ADBC中，點(diǎn)M為BC邊上一點(diǎn)，以AM為邊作正方形AMEF，點(diǎn)N為正方形AMEF的中心，連接CN，若正方形ADBC的邊長為8，CN＝，直接寫出正方形AMEF的邊長．

Answer 1

【答案】【問題發(fā)現(xiàn)】證明見解析；

【變式探究】∠ABC＝∠ACN，理由見解析；

【解決問題】正方形AMEF的邊長為10．

【解析】

【問題發(fā)現(xiàn)】

根據(jù)△ABC，△AMN為等邊三角形，得到AB=AC，AM=AN且∠BAC=∠MAN=60°從而得到∠BAC-∠CAM=∠MAN-∠CAM，即∠BAM=∠CAN，證明△BAM≌△CAN，即可得到BM=CN．
【變式探究】根據(jù)△ABC，△AMN為等腰三角形，得到AB：BC=1：1且∠ABC=∠AMN，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，利用等腰三角形的性質(zhì)得到∠BAC=∠MAN，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
【解決問題】根據(jù)正方形的性質(zhì)得到∠ABC=∠BAC=45°，∠MAN=45°，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出，得到BM=2，CM=6，再根據(jù)勾股定理即可得到答案．

解：【問題發(fā)現(xiàn)】CN∥AB，

∵△ABC與△MN是等邊三角形，

∴AB＝AC，AM＝AN，∠BAC＝∠MAN＝60°，

∴∠BAM＝∠CAN，

在△ABM與△ACN中， ，

∴△ABM≌△ACN，

∴∠B＝∠ACN＝60°，

∵∠ANC+∠ACN+∠CAN＝∠ANC+60°+∠CAN＝180°，

∴∠ANC+∠MAN+∠BAM＝∠ANC+60°+∠CAN＝∠BAN+∠ANC＝180°，

∴CN∥AB；

【變式探究】

∠ABC＝∠ACN，

理由：∵ ＝1且∠ABC＝∠AMN，

∴△ABC～△AMN，

∴ ，

∵AB＝BC，

∴∠BAC＝ ，

∵AM＝MN

∴∠MAN＝ ，

∵∠B＝∠AMN，

∴∠BAM＝∠CAN，

∴△ABM～△ACN，

∴∠ABC＝∠ACN；

【解決問題】

∵四邊形ADBC，AMEF為正方形，

∴∠ABC＝∠BAC＝45°，∠MAN＝45°，

∴∠BAC﹣∠MAC＝∠MAN﹣∠MAC

即∠BAM＝∠CAN，

∵

∴ ，

∴△ABM～△ACN

∴ ，

∴

∴ ，

∴BM＝2，

∴CM＝6

在Rt△AMC，AC＝8，CM＝6，

答：正方形AMEF的邊長為10．