Question

通過研究學(xué)生的學(xué)習(xí)行為，心理學(xué)家發(fā)現(xiàn)，學(xué)生的接受能力依賴于老師引入概念和描述問題所用的時(shí)間．講座開始時(shí)，學(xué)生興趣激增；中間有一段不太長的時(shí)間，學(xué)生的興趣保持較理想的狀態(tài)，隨后學(xué)生的注意力開始分散．分析結(jié)果和實(shí)驗(yàn)表明，用y表示學(xué)生掌握和接受概念的能力，x表示提出概念和講授概念的時(shí)間（單位：分），可有以下的關(guān)系式：y=

-0.1x2+2.6x+43，(0＜x≤10) 59，(10＜x≤16) -3x+107，(16＜x≤30)

（1）開講后多少分鐘，學(xué)生的接受能力最強(qiáng)？能維持多少時(shí)間？
（2）一個(gè)數(shù)學(xué)難題，需要55（或以上）的接受能力，上課開始30分鐘內(nèi)，求能達(dá)到該接受能力要求的時(shí)間共有多少分鐘？
（3）如果每隔5分鐘測量一次學(xué)生的接受能力，填寫下表：

x	5	10	15	20	25	30
y

再計(jì)算六個(gè)y值得平均值M，它能高于45嗎？

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的應(yīng)用

專題：

分析：（1）根據(jù)已知中的函數(shù)解析式，分析出函數(shù)的增減性，求出函數(shù)的最大值點(diǎn)，及取最大值時(shí)，自變量的取值范圍，可得答案．
（2）根據(jù)題意，構(gòu)造不等式y(tǒng)≥55，另外根據(jù)分段函數(shù)的解析式，分段討論后，綜合討論結(jié)果可得答案；
（3）根據(jù)（1）中解析式以及x的取值范圍分別代入求出y的值，進(jìn)而求出平均數(shù)即可．

解答：解：（1）0＜x≤10時(shí)，有y=-0.1x²+2.6x+43=-0.1（x-13）²+59.9，
對稱軸x=13在區(qū)間（0，10]右邊，
故當(dāng)0＜x≤10時(shí)，y遞增，
最大值為：當(dāng)y=10時(shí)，10=-0.1×（-3）²+59.9=59；
顯然，當(dāng)16＜x≤30時(shí)，y遞減，
y＜-3×16+107=59．
因此，開講后10分鐘，學(xué)生達(dá)到最強(qiáng)的接受能力（值為59），并維持6分鐘；

（2）依題意，當(dāng)0＜x≤10時(shí)，
令y≥55，則（x-13）²≤49，
∴6≤x≤10；
當(dāng)10＜x≤16時(shí)，y=59符合要求；
當(dāng)16＜x≤30時(shí)，令y≥55，則x≤17

1

3

，
因此，學(xué)生不低于55的接受能力的時(shí)間共有17

1

3

-6=11

1

3

（分鐘）；

（3）當(dāng)x=5，則y=-0.1×5²+2.6×5+43=53.5，
當(dāng)x=10，則y=-0.1×10²+2.6×10+43=59，
當(dāng)x=15，則y=59，
當(dāng)x=20，則y=-3×20+107=47，
當(dāng)x=25，則y=-3×25+107=32，
當(dāng)x=30，則y=-3×30+107=17，
∴

1

6

（53.5+59+59+47+32+17）≈35.58＜45，
答：計(jì)算六個(gè)y值得平均值M，它不能高于45．

點(diǎn)評：本題考查了分段函數(shù)，分段函數(shù)分段處理是解答分段函數(shù)時(shí)，最常用的方法，它是分類討論思想在解答函數(shù)問題時(shí)的簡單應(yīng)用．