Question

【題目】已知△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ADE＝90°，F(xiàn)為BE的中點(diǎn)，連結(jié)DF，CF．

(1)如圖①，當(dāng)點(diǎn)D在AB上，點(diǎn)E在AC上，請直接寫出此時線段DF，CF的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系．

(2)如圖②，在(1)的條件下將△ADE繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)45°，請你判斷此時(1)中的結(jié)論是否仍然成立，并證明你的判斷．

(3)如圖③，在(1)的條件下將△ADE繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)90°，若AD＝1，AC＝，求此時線段CF的長(直接寫出結(jié)果)．

Answer 1

【答案】(1) DF＝CF，DF⊥CF；(2)(1)中的結(jié)論仍然成立，證明見解析；(3)CF＝．

【解析】

（1）根據(jù)“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”可知DF=CF，根據(jù)∠DFE=2∠DBF，∠CFE=2∠CBF，得到∠EFD+∠EFC=2∠ABC=90°，DF⊥CF．
（2）延長DF交BC于點(diǎn)G，先證明△DEF≌△GBF，得到DE＝GB，DF＝GF，根據(jù)AD=DE，AB=BC，得到DC＝GC又因為∠ACB=90°，所以DF=CF且DF⊥CF．
（3）延長DF交BA于點(diǎn)H，先證明△DEF≌△HBF，得到DE=BH，根據(jù)旋轉(zhuǎn)條件可以△ADH為直角三角形，由△ABC和△ADE是等腰直角三角形，AC=2，可以求出AB的值，進(jìn)而可以根據(jù)勾股定理可以求出DH，再求出DF，求出得CF的值．

(1) DF＝CF． DF⊥CF．

(2)(1)中的結(jié)論仍然成立．證明如下：

如解圖①，延長DF交BC于點(diǎn)G．

∵∠ADE＝∠ACB＝90°，∴DE∥BC，

∴∠DEF＝∠GBF，∠EDF＝∠BGF．

∵F為BE的中點(diǎn)，∴EF＝BF，

∴△DEF≌△GBF(AAS)，

∴DE＝GB，DF＝GF．

∵AD＝DE，∴AD＝GB．

∵AC＝BC，∴AC－AD＝BC－GB，即DC＝GC．

∵∠ACB＝90°，∴△DCG是等腰直角三角形．

∵DF＝GF，∴DF＝CF，DF⊥CF．

(3)CF＝．