Question

如圖，⊙M過坐標原點O，分別交兩坐標軸于A（1，O），B（0，2）兩點，直線CD交x軸于點C（6，0），交y軸于點D（0，3），過點O作直線OF，分別交⊙M于點E，交直線CD于點F．

（1）求證：∠CDO=∠BAO；

（2）求證：OE•OF=OA•OC；

（3）若OE=，試求點F的坐標．

 

 

 

Answer 1

(1)證明見解析

證明見解析

F的坐標為：（2，2）或（，）．

【解析】

試題分析：（1）由已知可得tan∠CDO=tan∠BAO所以∠CDO=∠BAO，

（2）連接AE，由圓周角相等則有∠AEO=∠ABO，由（1）則有∠AEO=∠OCD則有△OCF∽△OEA．再利用比例式即可證得．

（3）由（2）可求得OF的長度，因為點F要直線CD上，則可設F（x，y），則可得到關于x，y的方程組，解方程組即可得出點F的坐標

試題解析：（1）如圖：∵C（6，0），D（0，3），

∴tan∠CDO==2，

∵A（1，O），B（0，2），

cot∠BAO==2，

∴∠CDO=∠BAO，

（2）如圖，連接AE，

由（1）知∠CDO=∠BAO，

∴∠OCD=∠OBA，

∵∠OBA=∠OEA，

∴∠OCD=∠OEA，

∴△OCF∽△OEA，

∴

∴OE•OF=OA•OC；

（3）由（2）得OE•OF=OA•OC，

∵OA=1，0C=6，OE=，

∴OF=

設F（x，y）

∴x2+y2=8，

∵直線CD的函數(shù)式為：y=﹣x+3

∴組成的方程組為，

解得或

∴F的坐標為：（2，2）或（，）．

考點：1、三角函數(shù)；2、圓周角定理；3、相似；4、方程組