在平面直角坐標(biāo)系中,已知拋物線y=ax2+bx﹣4經(jīng)過A(﹣4,0),C(2,0)兩點.

(1)求拋物線的解析式;

(2)若點M為第三象限內(nèi)拋物線上一動點,點M的橫坐標(biāo)為m,△AMB的面積為S.求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式,并求出S的最大值;

(3)若點P是拋物線上的動點,點Q是直線y=﹣x上的動點,點B是拋物線與y軸交點.判斷有幾個位置能夠使以點P、Q、B、O為頂點的四邊形為平行四邊形,直接寫出相應(yīng)的點Q的坐標(biāo).

 

 


【考點】二次函數(shù)綜合題.

【分析】(1)設(shè)拋物線解析式為y=ax2+bx+c,然后把點A、B、C的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式,利用待定系數(shù)法求解即可;

(2)根據(jù)圖形的割補法,可得二次函數(shù),根據(jù)拋物線的性質(zhì)求出第三象限內(nèi)二次函數(shù)的最值,然后即可得解;

(3)利用直線與拋物線的解析式表示出點P、Q的坐標(biāo),然后求出PQ的長度,再根據(jù)平行四邊形的對邊相等列出算式,然后解關(guān)于x的一元二次方程即可得解.

【解答】解:(1)將A(﹣4,0),C(2,0)兩點代入函數(shù)解析式,得

解得

所以此函數(shù)解析式為:y=x2+x﹣4;

(2)∵M點的橫坐標(biāo)為m,且點M在這條拋物線上,

∴M點的坐標(biāo)為:(m, m2+m﹣4),

∴S=SAOM+SOBM﹣SAOB

=×4×(m2+m﹣4)+×4×(﹣m)﹣×4×4

=﹣m2﹣2m+8﹣2m﹣8

=﹣m2﹣4m

=﹣(m+2)2+4,

∵﹣4<m<0,

當(dāng)m=﹣2時,S有最大值為:S=﹣4+8=4.

答:m=﹣2時S有最大值S=4.

(3)∵點Q是直線y=﹣x上的動點,

∴設(shè)點Q的坐標(biāo)為(a,﹣a),

∵點P在拋物線上,且PQ∥y軸,

∴點P的坐標(biāo)為(a, a2+a﹣4),

∴PQ=﹣a﹣(a2+a﹣4)=﹣a2﹣2a+4,

又∵OB=0﹣(﹣4)=4,

以點P,Q,B,O為頂點的四邊形是平行四邊形,

∴|PQ|=OB,

即|﹣a2﹣2a+4|=4,

①﹣a2﹣2a+4=4時,整理得,a2+4a=0,

解得a=0(舍去)或a=﹣4,

﹣a=4,

所以點Q坐標(biāo)為(﹣4,4),

②﹣a2﹣2a+4=﹣4時,整理得,a2+4a﹣16=0,

解得a=﹣2±2

所以點Q的坐標(biāo)為(﹣2+2,2﹣2)或(﹣2﹣2,2+2).

綜上所述,Q坐標(biāo)為(﹣4,4)或(﹣2+2,2﹣2)或(﹣2﹣2,2+2)時,使點P,Q,B,O為頂點的四邊形是平行四邊形.

【點評】本題考查了二次函數(shù)綜合題,有待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式;利用圖形割補法得出二次函數(shù)的最值問題是解題關(guān)鍵;平行四邊形的對邊相等的性質(zhì),平面直角坐標(biāo)系中兩點間的距離的表示,綜合性較強,但難度不大,仔細分析便不難求解.

 


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C.B在⊙A內(nèi),D在⊙A外       D.B在⊙A上,C在⊙A外

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