Question

如圖，已知點(diǎn)P是⊙O外一點(diǎn)，PO交圓O于點(diǎn)C，OC=2，AB⊥OC，劣弧AB的度數(shù)為120°，連接PB．

（1）求征：OC=BC；

（2）當(dāng)PB的長是多少時，PB是⊙O的切線？寫出證明過程．

　

Answer 1

【考點(diǎn)】切線的判定．

【專題】證明題．

【分析】（1）根據(jù)垂徑定理得OC平分劣弧AB，則劣弧AC和劣弧BC的度數(shù)為60°，則利用圓心角的度數(shù)等于它所對弧的度數(shù)得∠COB=60°，連接OB，如圖，易證得△OBC是等邊三角形，所以BC=OC；

（2）由△OBC是等邊三角形，則BC=OC=OB=2，∠BOP=60°，所以當(dāng)∠P=30°時，∠OBP=90°，則根據(jù)切線的判定定理可判斷此時PB是⊙O的切線，利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到PB=OB=2，即當(dāng)PB=2時，PB是⊙O的切線．

【解答】（1）證明：∵AB⊥OC，

∴OC平分劣弧AB，

∵劣弧AB的度數(shù)為120°，

∴劣弧AC和劣弧BC的度數(shù)為60°，

即∠COB=60°，

連接OB，如圖，

∵OC=OB，∠COB=60°，

∴△OBC是等邊三角形，

∴BC=OC；

（2）當(dāng)PB=2時，PB是⊙O的切線．

證明如下：∵△OBC是等邊三角形，

∴BC=OC=OB=2，∠BOP=60°，

當(dāng)∠P=30°時，∠OBP=90°，

∴OB⊥PB，

∴此時PB是⊙O的切線，

∴PB=OB=2．．

【點(diǎn)評】本題考查了切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．記住含30度的直角三角形三邊的關(guān)系．