Question

如圖，△ABC中，BC＞AC，點D在BC上，且CA=CD，∠ACB的平分線交AD于點F，E是AB的中點．
（1）求證：EF∥BD；
（2）若∠ACB=60°，AC=8，BC=12，求四邊形BDFE的面積．

Answer 1

考點：三角形中位線定理,相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得CF是AD邊的中線，然后求出EF是△ABD的中位線，再根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊證明；
（2）判斷出△CAD是等邊三角形，然后求出BD，過點A作AM⊥BC，垂足為M，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出AM，從而求出△ABD的面積，然后求出根據(jù)△AEF和△ABD相似，求出△AEF的面積，再求解即可．

解答：（1）證明：∵CA=CD，CF平分∠ACB，
∴CF是AD邊的中線，
∵E是AB的中點，
∴EF是△ABD的中位線．
∴EF∥BD；

（2）解：∵∠ACB=60°，CA=CD，
∴△CAD是等邊三角形，
∴∠ADC=60°，AD=DC=AC=8，
∴BD=BC-CD=12-8=4，
過點A作AM⊥BC，垂足為M，
∴AM=

3

2

AD=

3

2

×8=4

3

，
S_△ABD=

1

2

BD•AM=

1

2

×4×4

3

=8

3

，
∵EF∥BD，
∴△AEF∽△ABD，且

EF

BD

=

1

2

，
∴

S△AEF

S△ABD

=

1

4

，
∴S_△AEF=

1

4

×8

3

=2

3

，
四邊形BDFE的面積=S_△ABD-S_△AEF=8

3

-2

3

=6

3

．

點評：本題考查了三角形的中位線定理，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟記各性質(zhì)與定理是解題的關(guān)鍵．