【題目】如圖,邊長為1的正方形ABCD的對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,直角∠MPN的頂點(diǎn)P與點(diǎn)O重合,直角邊PM,PN分別與OA,OB重合,然后逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)∠MPN,旋轉(zhuǎn)角為θ(0°<θ<90°),PM、PN分別交AB、BCE、F兩點(diǎn),連接EFOB于點(diǎn)G,則下列結(jié)論中正確的是_____.

(1)EF=OE;(2)S四邊形OEBF:S正方形ABCD=1:4;(3)在旋轉(zhuǎn)過程中,當(dāng)△BEF與△COF的面積之和最大時(shí),AE=;(4)OGBD=AE2+CF2.

【答案】(1)(2)(4)

【解析】

(1)由四邊形ABCD是正方形,直角∠MPN,易證得△BOE≌△COF(ASA),則可證得結(jié)論;(2)由(1)易證得S四邊形OEBF=SBOC=S正方形ABCD,則可證得結(jié)論; (3)首先設(shè)AE=x,則BE=CF=1﹣x,BF=x,繼而表示出△BEF與△COF的面積之和,然后利用二次函數(shù)的最值問題,求得答案;(4)易證得△OEG∽△OBE,然后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例,證得OGOB=OE2,再利用OBBD的關(guān)系,OEEF的關(guān)系,即可證得結(jié)論.

∵四邊形ABCD是正方形,

OB=OC,OBE=OCF=45°,BOC=90°,

∴∠BOF+COF=90°,

∵∠EOF=90°,

∴∠BOF+COE=90°,

∴∠BOE=COF,

在△BOE和△COF中,

,

∴△BOE≌△COF(ASA),

OE=OF,BE=CF,

EF=OE;故(1)正確;

S四邊形OEBF=SBOE+SBOE=SBOE+SCOF=SBOC=S正方形ABCD,

S四邊形OEBF:S正方形ABCD=1:4;故(2)正確;

過點(diǎn)OOHBC,

BC=1,

OH=BC=,

設(shè)AE=x,則BE=CF=1-x,BF=x,

SBEF+SCOF=BEBF+CFOH=x(1-x)+(1-x)×=-(x-2+,

a=-<0,

∴當(dāng)x=時(shí),SBEF+SCOF最大;

即在旋轉(zhuǎn)過程中,當(dāng)△BEF與△COF的面積之和最大時(shí),AE=;故(3)錯(cuò)誤;

∵∠EOG=BOE,OEG=OBE=45°,

∴△OEG∽△OBE,

OE:OB=OG:OE,

OGOB=OE2,

OB=BD,OE=EF,

OGBD=EF2,

∵在△BEF中,EF2=BE2+BF2,

EF2=AE2+CF2,

OGBD=AE2+CF2.故(4)正確,

綜上所述:(1)(2)(4)正確,

故答案為:(1)(2)(4)

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【題目】如圖,點(diǎn),在反比例函數(shù)圖象上,軸于點(diǎn),軸于點(diǎn),

(1),的值并寫出反比例函數(shù)的表達(dá)式;

(2)連接,是線段上一點(diǎn),過點(diǎn)軸的垂線,交反比例函數(shù)圖象于點(diǎn),若,求出點(diǎn)的坐標(biāo).

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A.B.C.2D.

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向上點(diǎn)數(shù)

1

2

3

4

5

6

出現(xiàn)次數(shù)

6

9

5

8

16

10

(1)請(qǐng)計(jì)算出現(xiàn)向上點(diǎn)數(shù)為3的頻率及出現(xiàn)向上點(diǎn)數(shù)為5的頻率;

(2)王強(qiáng)說:根據(jù)試驗(yàn)可知一次試驗(yàn)中出現(xiàn)向上點(diǎn)數(shù)為5的概率最大.”李明說:如果拋540,那么出現(xiàn)向上點(diǎn)數(shù)為6的次數(shù)正好是100.”請(qǐng)判斷王強(qiáng)和李明說法的對(duì)錯(cuò)

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【題目】如圖,∠MON=90°,點(diǎn)A、B分別在邊ONOM上(∠OAB≠45°.

1)根據(jù)要求,利用尺規(guī)作圖,補(bǔ)全圖形:

第①步:作∠MON的平分線OC,作線段AB的垂直平分線l,OCl交于點(diǎn)P,第②步:連接PA、PB;

2)結(jié)合補(bǔ)完整的圖形,判斷PAPB有什么數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系?并說明理由.

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求證:(1)∠EBC=∠D;

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