Question

如圖，拋物線y=ax²-5ax+4a與x軸相交于點(diǎn)A、B，且過點(diǎn)C（5，4）．
（1）求a的值和該拋物線頂點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）求三角形ABC的面積；
（3）將拋物線先向左平移2個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位，寫出平移后拋物線的解析式．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線與x軸的交點(diǎn),二次函數(shù)圖象與幾何變換

專題：

分析：（1）把點(diǎn)C的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，列出關(guān)于系數(shù)a的方程，通過解方程來求a的值；
（2）由（1）中的解析式求得點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，然后求得線段AB的長(zhǎng)度，結(jié)合三角形面積公式來求三角形ABC的面積；
（3）拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）通過配方，將一般式化為y=a（x-h）²+k的形式，可確定其頂點(diǎn)坐標(biāo)為（h，k）；然后根據(jù)平移的規(guī)律直接寫出平移后的拋物線解析式．

解答：解：（1）把點(diǎn)C（5，4）代入拋物線y=ax²-5ax+4a，
得25a-25a+4a=4，
解得a=1．
∴該二次函數(shù)的解析式為y=x²-5x+4．
∵y=x²-5x+4=（x-

5

2

）²-

9

4

，
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為P（

5

2

，-

9

4

）．
綜上所述，a的值和該拋物線頂點(diǎn)P的坐標(biāo)分別是1、（

5

2

，-

9

4

）；

（2）∵由（1）知，二次函數(shù)的解析式為y=x²-5x+4=（x-1）（x-4）．
則A（1，0），B（4，0）．
∴AB=3．
又C（5，4），
∴三角形ABC的面積是：

1

2

×3×4=6；

（3）由拋物線y=（x-

5

2

）²-

9

4

先向左平移2個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位，
得到的二次函數(shù)解析式為y=（x-

5

2

+2）²-

9

4

+3=（x-

1

2

）²+

3

4

=x²-x+1，
即y=x²-x+1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線與x軸的交點(diǎn)及平移的有關(guān)知識(shí)．解題時(shí)，需要熟悉拋物線解析式的三種形式．