Question

【題目】如圖，在⊙O 中，BC是弦，OA⊥BC于點(diǎn)E，D為⊙O上一點(diǎn)，連接AD，CD.

（1）求證：∠AOB=2∠ADC；

（2）若OB⊥CD，CD=8，OE=，求tan∠ADC.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】（1）連接OC．由垂徑定理得∠AOC=∠AOB．再由圓周角定理即可得到結(jié)論；

(2)延長BO交CD于點(diǎn)F，連接AB．由垂徑定理得到CF的長．由∠EBO=∠FBC，∠CFB=∠OEB，得到 △ABE∽△DFC，由相似三角形對應(yīng)邊成比例得到．設(shè)BE=，則BF=4n，BC=，由勾股定理得CF=，由2n=4，得到n，BE，

BO，AE的長，由tan∠ADC=tan∠ABE即可得到結(jié)論．

（1）連接OC．

∵OA⊥BC，∴弧AC=弧AB，∴∠AOC=∠AOB．

∵∠AOC=2∠ADC，∴∠AOB=2∠ADC ．

(2)延長BO交CD于點(diǎn)F，連接AB．

∵OB⊥CD，∴CF=CD=4．

∵∠EBO=∠FBC，∠CFB=∠OEB，

∴ △ABE∽△DFC，∴．

設(shè)BE=，則BF=4n，BC=，

∴CF=，∴2n=4，n=2，∴BE==，

∴BO=5，AE=，∴tan∠ADC=tan∠ABE=．