Question

（本題滿分10分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知A（﹣2，0），B（2，0），AC⊥AB于點(diǎn)A，AC=2，BD⊥AB于點(diǎn)B，BD=6，以AB為直徑的半圓O上有一動(dòng)點(diǎn)P（不與A、B兩點(diǎn)重合），連接PD、PC，我們把由五條線段AB、BD、DP、PC、CA所組成的封閉圖形ABDPC叫做點(diǎn)P的關(guān)聯(lián)圖形，如圖1所示．

（1）如圖2，當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到半圓O與y軸的交點(diǎn)位置時(shí)，求點(diǎn)P的關(guān)聯(lián)圖形的面積．

（2）如圖3，連接CD、OC、OD，判斷△OCD的形狀，并加以證明．

（3）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，點(diǎn)P的關(guān)聯(lián)圖形的面積最大，簡(jiǎn)要說(shuō)明理由，并求面積的最大值．

 

 

Answer 1

（1）12；（2）△OCD是直角三角形，理由見(jiàn)試題解析；（3）P為OC與半圓O的交點(diǎn)，．

【解析】

試題分析：（1）判斷出四邊形AOPC是正方形，得到正方形的面積是4，根據(jù)BD⊥AB，BD=6，求出梯形OPDB的面積=，二者相加即為點(diǎn)P的關(guān)聯(lián)圖形的面積是12．

（2）根據(jù)CF=DF=4，∠DCF=45°，求出∠OCD=90°，判斷出△OCD是直角三角形．

（3）要使點(diǎn)P的關(guān)聯(lián)圖形的面積最大，就要使△PCD的面積最小，確定關(guān)聯(lián)圖形的最大面積是梯形ACDB的面積﹣△PCD的面積，根據(jù)此思路，進(jìn)行解答．

試題解析：（1）∵A（﹣2，0），∴OA=2，

∵P是半圓O上的點(diǎn)，P在y軸上，∴OP=2，∠AOP=90°，∴AC=2，∴四邊形AOPC是正方形，

∴正方形的面積是4，

又∵BD⊥AB，BD=6，∴梯形OPDB的面積=，

∴點(diǎn)P的關(guān)聯(lián)圖形的面積是12．

（2）判斷△OCD是直角三角形．

證明：延長(zhǎng)CP交BD于點(diǎn)F，則四邊形ACFB為矩形，∴CF=DF=4，∠DCF=45°，∴∠OCD=90°，

∴OC⊥CD，∴△OCD是直角三角形．

（3）連接OC交半圓O于點(diǎn)P，則點(diǎn)P即為所確定的點(diǎn)的位置．

理由如下：連接CD，梯形ACDB的面積=為定值，

要使點(diǎn)P的關(guān)聯(lián)圖形的面積最大，就要使△PCD的面積最小，

∵CD為定長(zhǎng)，∴P到CD的距離就要最小，

連接OC，設(shè)交半圓O于點(diǎn)P，

∵AC⊥OA，AC=OA，∴∠AOC=45°，過(guò)C作CF⊥BD于F，則ACFB為矩形，

∴CF=DF=4，∠DCF=45°，∴OC⊥CD，OC=，

∴PC在半圓外，設(shè)在半圓O上的任意一點(diǎn)P′到CD的距離為P′H，則P′H+P′O＞OH＞OC，

∵OC=PC+OP，∴P′H＞PC，∴當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到半圓O與OC的交點(diǎn)位置時(shí)，點(diǎn)P的關(guān)聯(lián)圖形的面積最大．

∵CD=，CP=，

∴△PCD的面積=，

∴點(diǎn)P的關(guān)聯(lián)圖形的最大面積是梯形ACDB的面積﹣△PCD的面積=．

考點(diǎn)：圓的綜合題．