【題目】如圖1,已知是等邊三角形,點E在線段AB上,點D在直線BC上,且,將繞點C順時針旋轉(zhuǎn)至,連接EF.
(1)證明:;
(2)如圖2,如果點E在線段AB的延長線上,其他條件不變,請你寫出線段AB、DB、AF之間的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論;
(3)如果點E在線段BA的延長線上,其他條件不變,請在圖3的基礎(chǔ)上將圖形補充完整,并寫出AB、DB、AF之間的數(shù)量關(guān)系,不必證明.
【答案】(1)見解析;(2)AB=BD﹣AF,證明見解析;(3)補充圖形見解析,AB,DB,AF之間的數(shù)量關(guān)系是:AF=AB+BD.
【解析】
(1)過點E作EG∥BC交AC于點G,可得△AEG為等邊三角形,進(jìn)而可得BE=CG,易證∠BED=∠GCE,再根據(jù)SAS可證△BDE≌△GEC,可得BD=EG=AE,進(jìn)一步即得結(jié)論;
(2)結(jié)論:AB=BD﹣AF;如圖2,延長EF、CA交于點G,先由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)證得△CEF是等邊三角形,進(jìn)而可推得ED=EF,然后利用三角形的外角性質(zhì)可推得∠FCG=∠FEA,進(jìn)而可得∠D=∠FEA,易證∠DBE=∠FAE=60°,于是根據(jù)AAS可證△EDB≌△FEA,可得BD=AE,進(jìn)一步根據(jù)等線段代換即可證得結(jié)論;
(3)AB,DB,AF之間的數(shù)量關(guān)系是:AF=AB+BD.如圖3中,先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)判斷△CEF是等邊三角形,可得EF=EC,進(jìn)而可得ED=EF,然后根據(jù)三角形的外角性質(zhì)和角度之間的關(guān)系可得∠BDE=∠AEF,易證∠B=∠EAF=60°,于是根據(jù)AAS可證△EDB≌△FEA,可得BD=AE,EB=AF,進(jìn)一步即可證得結(jié)論.
解:(1)證明:∵△ABC是等邊三角形,∴AB=AC=BC,∠ABC=∠BCA=60°,
∵△BCE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°至△ACF,∴BE=AF,
如圖1,過點E作EG∥BC交AC于點G,則△AEG為等邊三角形,∴AE=AG=EG,∴BE=CG,
∵DE=CE,∴∠CDE=∠ECD,
又∵∠CDE+∠BED=∠ABC=∠ACD=∠ECD+∠GCE,
∴∠BED=∠GCE,
在△BDE和△GEC中,
,
∴△BDE≌△GEC(SAS),
∴BD=EG=AE,
又∵AF=BE,
∴AB=BE+AE=AF+BD;
(2)結(jié)論:AB=BD﹣AF;
理由:如圖2,延長EF、CA交于點G,
∵△BCE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°至△ACF,
∴∠ECF=60°,BE=AF,EC=CF,
∴△CEF是等邊三角形,∴EF=EC,
又∵ED=EC,∴ED=EF,∠EFC=∠BAC=60°,
∵∠EFC=∠G+∠FCG,∠BAC=∠G+∠FEA,
∴∠FCG=∠FEA,
∵∠FCG=∠ECD,∠D=∠ECD,
∴∠D=∠FEA,
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得:∠CBE=∠CAF=120°,又∵∠BAC=60°,
∴∠DBE=∠FAE=60°,
在△EDB和△FEA中,,
∴△EDB≌△FEA(AAS),
∴BD=AE,EB=AF,
∵AE=AB+BE,
∴BD=FA+AB,
即AB=BD﹣AF;
(3)如圖3中,AB,DB,AF之間的數(shù)量關(guān)系是:AF=AB+BD.
∵△BCE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°至△ACF,
∴∠ECF=60°,BE=AF,EC=CF,∴△CEF是等邊三角形,∴EF=EC,
又∵ED=EC,∴ED=EF,
∵△ABC是等邊三角形,
∴∠B=∠BAC=60°,
又∵∠B=∠CAF,∴∠CAF=60°,
∴∠EAF=180°﹣∠CAF﹣∠BAC=180°﹣60°﹣60°=60°,
∴∠B=∠EAF;
∵ED=EC,∴∠ECD=∠EDC,
∴∠BDE=∠ECD+∠DEC=∠EDC+∠DEC,
又∵∠EDC=∠B+∠BED,
∴∠BDE=∠B+∠BED+∠DEC=60°+∠BEC,
∵∠AEF=∠CEF+∠BEC=60°+∠BEC,
∴∠BDE=∠AEF,
在△EDB和△FEA中, ,
∴△EDB≌△FEA(AAS),
∴BD=AE,EB=AF,
∵BE=AB+AE,
∴AF=AB+BD,
即AB,DB,AF之間的數(shù)量關(guān)系是:AF=AB+BD.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】反比例函數(shù)y=(a>0,a為常數(shù))和y=在第一象限內(nèi)的圖象如圖所示,點M在y=的圖象上,MC⊥x軸于點C,交y=圖象于點A;MD⊥y軸于點D,交y=的圖象于點B,當(dāng)點M在y=的圖象上運動時,以下結(jié)論:①S△ODB=S△OCA;②四邊形OAMB的面積不變;③當(dāng)點A是MC的中點時,則點B是MD的中點.其中正確結(jié)論的序號是___________;
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】平行四邊形中,對角線,相交于點,若、是上兩動點,、分別從、兩點同時以的相同的速度向、運動
四邊形是平行四邊形嗎?說明你的理由.
若,,當(dāng)運動時間為多少時,以、、、為頂點的四邊形為矩形.
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【題目】如圖,在△ABC 中,∠A=∠B=30°,E,F 在 AB 上,∠ECF=60°.
(1)畫出△BCF 繞點 C 順時針旋轉(zhuǎn) 120°后的△ACK;
(2)在(1)中,若 AE2+ EF2= BF2,求證 BF= CF.
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【題目】已知,點P是射線ON上一動點,點B是射線OA上一動點,點B,P均不與點O重合,當(dāng)_____時,為直角三角形;如果使得為鈍角三角形,則的取值范圍是_____.
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【題目】如圖,已知等腰Rt△ABC,∠ACB=90°,CA=CB,以BC為邊向外作等邊△CBA,連接AD,過點C作∠ACB的角平分線與AD交于點E,連接BE.
(1)若AE=2,求CE的長度;
(2)以AB為邊向下作△AFB,∠AFB=60°,連接FE,求證:FA+FB= FE.
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【題目】在下列命題中,寫出其逆命題,并判斷逆命題的真假.
(1)如果兩個角相等,那么它們都是對頂角;
(2)直角都相等;
(3)兩條平行線被第三條直線所截,所成的同位角相等;
(4)如果,那么;
(5)如果一個三角形是直角三角形,那么它的兩個銳角互余.
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【題目】如圖1,CA=CB,CD=CE,∠ACB=∠DCE=α.
(1)求證:BE=AD;
(2)當(dāng)α=90°時,取AD,BE的中點分別為點P、Q,連接CP,CQ,PQ,如圖②,判斷△CPQ的形狀,并加以證明.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一個不透明的口袋里裝有分別標(biāo)有漢字“書”、“ 香”、“ 歷”、“ 城”的四個小球,除漢字不同之外,小球沒有任何區(qū)別,每次摸球前先攪拌均勻.
(1)若從中任取一個球,球上的漢字剛好是 “書”的概率為__________.
(2)從中任取一球,不放回,再從中任取一球,請用樹狀圖或列表的方法,求取出的兩個球上的漢字能組成“歷城”的概率.
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