Question

如圖，BC是半圓O的直徑，點(diǎn)A在半圓O上，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在

AC

上運(yùn)動(dòng)．若AB=2，tan∠ACB=

1

2

，請問：分別以點(diǎn)A、E、D為直角頂點(diǎn)的等腰三角形AED存在嗎？請逐一說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題

專題：

分析：先運(yùn)用三角函數(shù)求出AB，AD，CD之間的關(guān)系，再分三種情況說明①利用假設(shè)存在以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)的等腰三角形與已知得出矛盾，②以點(diǎn)E為直角頂點(diǎn)的等腰三角形存在，運(yùn)用三角形全等證明．③利用假設(shè)存在以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)的等腰三角形與已知得出矛盾．

解答：解：∵BC為半⊙O的直徑
∴∠BAC=90°
∴tan∠ACB=

AB

AC

∵tan∠ACB=

1

2

，AB=2
∴AC=4
∵D為AC中點(diǎn)
∴AD=CD=

1

2

AC=2
∴AB=AD=CD=2                                    
①以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)的等腰三角形不存在
若存在，則∠CAE=90°
∵∠BAC=90°
∴B、A、E成一條直線
∴B、A、E不可能在同一個(gè)圓上，即點(diǎn)E不在⊙O上
因此以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)的等腰三角形不存在              
②如圖1，以點(diǎn)E為直角頂點(diǎn)的等腰三角形存在，

∵BC為半⊙O的直徑
∴∠BEC=∠4+∠5=90°
∵∠AED=∠3+∠5=90°
∴∠3=∠4，
又∵∠1=∠2，AB=DC，
在△ABE和△DCE中，

∠3=∠4 ∠1=∠2 AB=DC

，
∴△ABE≌△DCE（AAS）
∴AE=DE，
∴△AED為等腰直角三角形．
③以點(diǎn)D為直角頂點(diǎn)的等腰三角形不存在
如圖2，連接EC

假設(shè)點(diǎn)D為直角頂點(diǎn)的等腰三角形存在
則ED=AD=2，∠DAE=∠AED=45°，
∵ED是AC的垂直平分線，
∴AE=EC，
∴∠CED=∠AED=45°，
∴∠AEC=90°，
∴AC為直徑
∵AC＜BC，不為直徑
∴假設(shè)不成立
∴以點(diǎn)D為直角頂點(diǎn)的等腰三角形不存在．
綜上所述，只有當(dāng)以點(diǎn)E頂點(diǎn)時(shí)存在等腰直角三角形AED．

點(diǎn)評：本題主要考查了圓的綜合題，涉及三角形全等的判定及性質(zhì)，等腰直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是運(yùn)用三角形全等及假設(shè)法來證明等腰直角三角形AED是否存在．