Question

已知，如圖1，等腰直角△ABC中，AC=BC，等腰直角△CDE中，CD=DE，AD∥BC，CE與AB相交于點F，AB與CD相交于點O，連接BE．
（1）求證：F為CE中點；
（2）如圖2，過點D作DG⊥BE于G，連接AE交DG于點H，連接HF，請?zhí)骄烤�段HF與BC之間的數(shù)量及位置關系，并證明你的結論．

Answer 1

考點：相似形綜合題

專題：

分析：（1）首先得出△AOD∽△CDF，進而得出△AOC∽△DOF，進而得出∠CFD=90，即可得出CF=EF；
（2）首先證明△EBC≌△KAC（SAS），進而得出DH∥AK，則

ED

DK

=

EH

HA

，故EH=EA，HF∥AC，H F=

1

2

AC，再利用BC=AC，得出H F=

1

2

BC，再利用平行線的性質得出HF⊥BC．

解答：（1）證明：如圖1，連接DF∞
∵AD∥BC，∴∠DAO=∠ABC=45°，
又∵∠DCF=45°，∴∠DAO=∠DCF，
又∵∠AOD=∠COB，
∴△AOD∽△CDF，
∴

AO

CO

=

OD

OF

，
∴

OA

OD

=

OC

OF

，
又∵∠AOC=∠DOF，
∴△AOC∽△DOF，
∴∠CAO=∠CDF=45°
∴∠CFD=90，
又∵CD=DE，
∴CF=EF；
                               
（2）H F=

1

2

BC，HF⊥BC．
如圖2，過C作CE的垂線交ED的延長線于K，連接KA，
∵∠DEC=45°，KC⊥CE，
∴∠CKE=45°，
∴KC=CE，
∵∠KCE=∠KCA+∠ACE=90°，∠ACB=∠ACE+∠BCE=90°，
∴∠KCA=∠BCE，
在△EBC和△KAC中

BC=AC ∠BCE=∠ACK CE=KC

，
∴△EBC≌△KAC（SAS），
∴∠CKA=∠CEB
∴∠CKD=45°，即∠CEB+∠AKD=45°
又∵DG⊥BE∴∠DGE=90°
∴∠DEG+∠DGE=90°，
又∵∠DEC=45°，
∴∠EDG+∠BEC=45°，
∴∠AKD=∠GDE，
∴DH∥AK，∴

ED

DK

=

EH

HA

，
∴EH=EA，∴HF∥AC，H F=

1

2

AC
又∵BC=AC，∴H F=

1

2

BC．
延長HF交BC于點N，
∵HN∥AC，AC⊥BC，
∴∠ACB=∠HNB=90°
∴HF⊥BC．

點評：此題主要考查了相似三角形的判定與性質以及全等三角形的判定與性質等知識，熟練應用相似三角形的判定與性質得出△AOC∽△DOF是解題關鍵．