Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線=分別與軸，軸相交于兩點(diǎn)，點(diǎn)是軸的負(fù)半軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以為圓心，3為半徑作.

（1）連結(jié)，若，試判斷與軸的位置關(guān)系，并說明理由；

（2）當(dāng)為何值時(shí)，以與直線=的兩個(gè)交點(diǎn)和圓心為頂點(diǎn)的三角形是正三角形？

 

 

Answer 1

（1）⊙P與x軸相切．理由見解析；（2）-8或k=--8

【解析】

試題分析：（1）通過一次函數(shù)可求出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)及線段的長，再在Rt△AOP利用勾股定理可求得當(dāng)PB=PA時(shí)k的值，再與圓的半徑相比較，即可得出⊙P與x軸的位置關(guān)系．

（2）根據(jù)正三角形的性質(zhì)，分兩種情況討論，

①當(dāng)圓心P在線段OB上時(shí)，②當(dāng)圓心P在線段OB的延長線上時(shí)，從而求得k的值．

試題解析：（1）⊙P與x軸相切，

∵直線y=-2x-8與x軸交于A（-4，0），與y軸交于B（0，-8），

∴OA=4，OB=8．

由題意，OP=-k，

∴PB=PA=8+k．

∵在Rt△AOP中，k2+42=（8+k）2

∴k=-3，

∴OP等于⊙P的半徑．

∴⊙P與x軸相切．

（2）設(shè)⊙P1與直線l交于C，D兩點(diǎn)，連接P1C，P1D，

當(dāng)圓心P1在線段OB上時(shí)，作P1E⊥CD于E，

∵△P1CD為正三角形，

∴DE=CD=，P1D=3．

∴P1E=．

∵∠AOB=∠P1EB=90°，∠ABO=∠P1BE，

∴△AOB∽△P1EB．

∴，即，

∴P1B＝.

∴P1O=BO-BP1=8-．

∴P1（0，-8）．

∴k=-8．

當(dāng)圓心P2在線段OB延長線上時(shí)，同理可得P2（0，--8）．

∴k=--8．

∴當(dāng)k=-8或k=--8時(shí)，以⊙P與直線l的兩個(gè)交點(diǎn)和圓心P為頂點(diǎn)的三角形是正三角形．

考點(diǎn)：1.切線的判定；2.一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；3.等邊三角形的性質(zhì)；4.勾股定理；5.相似三角形的判定與性質(zhì)．