Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，E是AB邊的中點(diǎn)，沿EC對(duì)折矩形ABCD，使B點(diǎn)落在點(diǎn)P處，折痕為EC，連接AP并延長(zhǎng)AP交CD于F點(diǎn)，連接CP并延長(zhǎng)CP交AD于Q點(diǎn)．給出以下結(jié)論：①四邊形AECF為平行四邊形；②∠PBA＝∠APQ；③△FPC為等腰三角形；④△APB≌△EPC；其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為( )

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Answer 1

【答案】B

【解析】

①根據(jù)三角形內(nèi)角和為180°易證∠PAB+∠PBA=90°，可證四邊形AECF為平行四邊形；
②根據(jù)平角定義得∠APQ+∠BPC=90°，再加上正方形所有內(nèi)角都是直角，再由同角的余角相等，即可解題；
③由翻折得∠FPC=∠PCE=∠BCE，∠FPC∠FCP，∠PFC是鈍角，△PCF不一定是等腰三角形；
④當(dāng)BP=AD或△BPC是等邊三角形時(shí)，△APB≌△FDA，即可解題.

①設(shè)EC，BP交于點(diǎn)G；
∵點(diǎn)P是點(diǎn)B關(guān)于直線EC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，∴EC垂直平分BP，∴EP=EB，∴∠EBP=∠EPB．
∵點(diǎn)E為AB中點(diǎn)，∴AE=EB，∴AE=EP，∴∠PAB=∠PBA．
∵∠PAB+∠PBA+∠APB=180°，即∠PAB+∠PBA+∠APE+∠BPE=2（∠PAB+∠PBA）=180°，∴∠PAB+∠PBA=90°，∴AP⊥BP，∴AF∥EC；
∵AE∥CF，∴四邊形AECF是平行四邊形，故①正確；
②∵∠APB=90°，∴∠APQ+∠BPC=90°，由折疊得：BC=PC，∴∠BPC=∠PBC．
∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABC=∠ABP+∠PBC=90°，∴∠ABP=∠APQ，故②正確；
③∵AF∥EC，∴∠FPC=∠PCE=∠BCE．
∵∠PFC是鈍角，當(dāng)△BPC是等邊三角形，即∠BCE=30°時(shí)，才有∠FPC=∠FCP，如右圖，△PCF不一定是等腰三角形，故③不正確；
④∵AF=EC，AD=BC=PC，∠ADF=∠EPC=90°，∴Rt△EPC≌△FDA（HL）．
∵∠ADF=∠APB=90°，∠FAD=∠ABP，當(dāng)BP=AD或△BPC是等邊三角形時(shí)，△APB≌△FDA，∴△APB≌△EPC，故④不正確；
其中正確結(jié)論有①②，2個(gè)．
故選B．