Question

如圖，Rt△OAB在平面直角坐標系，直角頂點B在x軸的正半軸上，已知∠OBA=90°，OB=3，sin∠AOB=

1

2

．反比例函數(shù)y=

k

x

（x＞0）的圖象經(jīng)過點A．
（1）求反比例函數(shù)的解析式；
（2）若C（m，2）是反比例函數(shù)y=

k

x

（x＞0）的圖象上的點，在x軸上是否存在點P，使得PA+PC最��？若存在，求點P的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）已知Q點在y軸上運動，請直接寫出使△AOQ為等腰三角形的所有Q點坐標．

Answer 1

考點：反比例函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)特殊角的正弦值，可得角的度數(shù)，根據(jù)正切函數(shù)，可得A點的縱坐標，根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)圖象上的點滿足函數(shù)解析式，可得C點坐標，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，可得A點關于x軸的對稱點，根據(jù)待定系數(shù)法，可得直線A′C的解析式，根據(jù)函數(shù)值為零，可得自變量的值；
（3）根據(jù)等腰三角形的判定：OQ=OA=2

3

，AQ=AO=OQ=2

3

，可得答案．

解答：解：（1）∵sin∠AOB=

1

2

，
∴∠AOB=30°，
∵∠OBA=90°，OB=3，
∴AB=OB•tan30°=

3

，
∴點A（3，

3

），
∵反比例函數(shù)y=

k

x

（x＞0）的圖象經(jīng)過點A，
∴

3

=

k

3

，
解得：k=3

3

，
∴反比例函數(shù)的解析式為：y=

3 3

x

；
（2）∵C（m，2）是反比例函數(shù)y=

3 3

x

（x＞0）的圖象上的點，
∴2=

3 3

m

，
解得：m=

3 3

2

，
∴點C（

3 3

2

，2），
如圖1：
，
點A關于x軸的對稱點為：A′（3，-

3

），
設直線A′C的解析式為：y=ax+b，

3k+b=- 3 3 3 2 k+b=2

，
解得

k=- 14+8 3 3 b=14+7 3

．
直線A′C的解析式為：y=-

14+8 3

3

x+14+7

3

．
當y=0時，-

14+8 3

3

x+14+7

3

=0，
解得x=

42-21 3

2

，
P點坐標是（

42-21 3

2

，0）；
（3）如圖2：
，
由OQ=OA=2

3

，得Q₁（0，-2

3

），Q₂（0，2

3

）；
由AQ=AO=OQ=2

3

，得Q（0，2

3

），
綜上所述：使△AOQ為等腰三角形的所有Q點坐標為（0，2

3

），（0，-2

3

）．

點評：本題考查了反比例函數(shù)綜合題，利用了銳角三角函數(shù)，待定系數(shù)法求解析式，軸對稱的性質(zhì)，等腰三角形的判定．