Question

如圖，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，點O在AB上，且CA=CO，若將直角三角形ABC繞著點A順時針旋轉，得到直角三角形AED，B、C的對應點分別為E、D，且點D落在CO的延長線上，連接BE交CO的延長線于點F，若CA=6，AB=18，則BF的長為　　　　　　．

Answer 1

　14　．

 

【考點】旋轉的性質．

【分析】根據旋轉的性質可得AC=AD，AB=AE，∠CAD=∠BAE，再根據等腰三角形兩底角相等求出∠ACD=∠ABE，從而得到△AOC∽△FOB，根據相似三角形對應邊成比例求出BF=OB，過點C作CH⊥AB于H，根據等腰三角形三線合一的性質可得AO=2AH，再由△ACH∽△ABC求出AH，然后根據BO=AB﹣AO即可得解．

【解答】解：∵△ABC以點A為旋轉中心順時針旋轉得到△ADE，

∴AC=AD，AB=AE，∠CAD=∠BAE（為旋轉角），

∵∠ACD=（180°﹣∠CAD），∠ABE=（180°﹣∠BAE），

∴∠ACD=∠ABE，

又∵∠AOC=∠BOF，

∴△AOC∽△FOB，

∴，

∵AC=OC，

∴BF=OB，

過點C作CH⊥AB于H，則AO=2AH，

∵△ACH∽△ABC，

∴AC²=AH•AB，

∴6²=18•AH，

∴AH=2，

∴AO=4，

∴BF=BO=AB﹣AO=18﹣4=14．

【點評】本題考查了旋轉的性質，等腰三角形兩底角相等的性質，等腰三角形三線合一的性質，利用三角形相似求出BF=OB是解題的關鍵，也是本題的難點．