Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC，D是邊BC上的一點，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別是E、F，EF∥BC．

（1）求證：△BDE≌△CDF；

（2）若BC=2AD，求證：四邊形AEDF是正方形．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.

【解析】試題分析：

（1）用ASA證明△BDE≌△CDF；

（2）由BC=2AD，得∠BAC=90°，從而四邊形AEDF是矩形，再由AE=AF即可得證.

試題解析：

證明：（1）∵AB=AC，∴∠B=∠C，

∵EF∥BC，∴∠AEF=∠B，∠AFE=∠C，∴∠AEF=∠AFE，

∴AE=AF，∴BE=CF，

∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠AED=∠AFD=90°，

在△BED和△CFD中，

，

∴△BDE≌△CDF．

（2）∵△BDE≌△CDF，∴BD=DC，DE=DF，

∵BC=2AD，∴AD=BC，∴∠BAC=90°，

∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠EAF=∠AED=∠AFD=90°，∴四邊形AEDF是矩形，

∵AE=AF，∴四邊形AEDF是正方形．