Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，動點(diǎn)P從原點(diǎn)O開始沿y軸的正方向運(yùn)動，點(diǎn)B、C是一次函數(shù)y=k₁x+b與反比例函數(shù)y=

k2

x

（k₂＞0，x＞0）的圖象的兩個(gè)交點(diǎn)，且點(diǎn)B的坐標(biāo)為（m，2），當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，2）時(shí)，PC=BC，且∠PCB=90°．
（1）試求反比例函數(shù)y=

k2

x

（k₂＞0，x＞0）和一次函數(shù)y=k₁x+b的解析式；
（2）設(shè)n=|PB-PC|，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到何處時(shí)，n的值最大？最大值是多少？

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）過C點(diǎn)作CE⊥x軸于E，交PB于D，通過已知表示出C（

m

2

，2+

m

2

），然后把B、C的坐標(biāo)代入y=

k2

x

即可求得反比例函數(shù)的解析式和C點(diǎn)的坐標(biāo)，最后利用待定系數(shù)法即可求得直線的解析式；
（2）根據(jù)三角形三邊的關(guān)系，當(dāng)P、B、C在一條直線時(shí)，n有最大值，最大值為BC，求得直線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)即可求得P的位置，利用勾股定理求得BC，即可求得n的最大值．

解答：解：如圖1，過C點(diǎn)作CE⊥x軸于E，交PB于D，
∵B（m，2），P（0，2），
∴PB∥x軸，
∴CE⊥PB，
∵PC=BC，且∠PCB=90°，PB=m，
∴PD=BD，
∴CD=PD=

1

2

PB=

m

2

，
∴C（

m

2

，2+

m

2

），
∵反比例函數(shù)y=

k2

x

（k₂＞0，x＞0）的圖象經(jīng)過B、C兩點(diǎn)，
∴

2= k m 2+ m 2 = k m 2

，
解得

m=4 k=8

，
∴反比例函數(shù)的解析式為：y=

8

x

，B（4，2），C（2，4），
∵一次函數(shù)y=k₁x+b的圖象經(jīng)過B、C點(diǎn)，
∴

2=4k1+b 4=2k1+b

，
解得

k1=-1 b=6

，
∴一次函數(shù)的解析式為y=-x+6；

（2）當(dāng)P移動到與B、C在一條直線時(shí)，|PB-PC|的值最大，最大值為BC，
∵直線BC解析式為y=-x+6，
∴與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，6），
∴當(dāng)P的坐標(biāo)為（0，6）時(shí)，n有最大值；
∵BC=

(4-2)2+(2-4)2

=4

2

，
∴n的最大值為4

2

．

點(diǎn)評：本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法求反比例、一次函數(shù)的解析式以及函數(shù)的最值問題．