Question

【題目】在△ABC中，∠BAC=60°，AD平分∠BAC交邊BC于點D，分別過D作DE∥AC交邊AB于點E，DF∥AB交邊AC于點F．

(1)如圖1，試判斷四邊形AEDF的形狀，并說明理由；

(2)如圖2，若AD=4，點H，G分別在線段AE，AF上，且EH=AG=3，連接EG交AD于點M，連接FH交EG于點N．

(i)求ENEG的值；

(ii)將線段DM繞點D順時針旋轉60°得到線段DM′，求證：H，F，M′三點在同一條直線上

Answer 1

【答案】(1) 四邊形AEDF的形狀是菱形，理由見解析；(1) (i) 12；(ii)見解析

【解析】

(1)由題意得出四邊形AEDF是平行四邊形；再根據(jù)角平分線性質及平行線性質可推出∠EAD=∠EDA；根據(jù)等角對等邊得出AE=DE即可得出；

(2) (i) 連接EF交AD于點Q,根據(jù)菱形的性質得出△AEF是等邊三角形，再根據(jù)余弦得出AE=AF=EF=4，根據(jù)SAS得出△AEG≌△EFH，根據(jù)全等三角形性質得出△AEG∽△NEH，最后根據(jù)相似三角形的性質得出答案；

(ii) 連接FM'，根據(jù)等邊三角形的性質及旋轉的性質可得出△EDM≌△FDM'，再根據(jù)全等三角形性質、等量代換即可得出答案．

(1)解：四邊形AEDF的形狀是菱形；理由如下：

∵DE∥AC，DF∥AB，

∴四邊形AEDF是平行四邊形，

∵AD平分∠BAC，

∴∠EAD=∠FAD，

∵DE∥AC，

∴∠EDA=∠FAD，

∴∠EAD=∠EDA，

∴AE=DE，

∴四邊形AEDF是菱形；

(2)(i)解：連接EF交AD于點Q，如圖2所示：

∵∠BAC=60°，四邊形AEDF是菱形，

∴∠EAD=30°，AD、EF相互垂直平分，△AEF是等邊三角形，

∴∠EAF=∠AEF=∠AFE=60°，

∵AD=，

∴AQ=，

在Rt△AQE中，cos∠EAQ=，即cos30°=，

∴AE=，

∴AE=AF=EF=4，

在△AEG和△EFH中，，

∴△AEG≌△EFH(SAS)，

∴∠AEG=∠EFH，

∴∠ENH=∠EFH+∠GEF=∠AEG+∠GEF=60°，

∴∠ENH=∠EAG，

∵∠AEG=∠NEH，

∴△AEG∽△NEH，

∴，

∴ENEG=EHAE=3×4=12；

(ii)證明：如圖3，連接FM'，

∵DE∥AC，

∴∠AED=180°﹣∠BAC=120°，

由(1)得：△EDF是等邊三角形，

∴DE=DF，∠EDF=∠FED=∠EFD=60°，

由旋轉的性質得：∠MDM'=60°，DM=DM'，

∴∠EDM=∠FDM'，

在△EDM和△FDM'中，，

∴△EDM≌△FDM'(SAS)，

∴∠MED=∠DFM'，

由(i)知，∠AEG=∠EFH，

∴∠DFM'+∠EFH=∠MED+∠AEG=∠AED=120°，

∴∠HFM'=∠DFM'+∠HFE+∠EFD=120°+60°=180°，

∴H，F，M′三點在同一條直線上．