Question

如圖，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB為直徑的⊙O交AC于點(diǎn)D，E為BC邊的中點(diǎn)，連接DE．
（1）求證：DE與⊙O相切．
（2）若tanC=

5

2

，DE=2，求AD的長．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定,相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）如圖，連接DO、DB．欲證明DE與⊙O相切，只需證得OD⊥DE即可；
（2）由“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”易求DE=

1

2

BC=2，則BC=4；然后通過解直角△ABC求得AB=2

5

、由勾股定理求得AC=6；最后通過△ABD∽△ACB的對應(yīng)邊成比例求得AD=

10

3

．

解答：（1）證明：連接DO，DB，
∴OD=OB，
∴∠ODB=∠OBD．
∵AB是直徑，
∴∠ADB=90°，
∴∠CDB=90°．
∵E為BC的中點(diǎn)，
∴DE=BE，
∴∠EDB=∠EBD，
∴∠ODB+∠EDB=∠OBD+∠EBD，
即∠EDO=∠EBO．
∵∠ABC=90°，
∴∠EDO=90°．
∴OD⊥ED于點(diǎn)D．
又∵OD是半徑，
∴DE為⊙O的切線．

（2）解：∵∠BDC=90°，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，
∴DE=

1

2

BC．
∵DE=2，
∴BC=4．
在直角△ABC中，tanC=

AB

BC

，
∴AB=BC×

5

2

=2

5

．
在直角△ABC中，由勾股定理得到AC=6．
又∵△ABD∽△ACB，
∴

AD

AB

=

AB

AC

，即

AD

2 5

=

2 5

6

，
∴AD=

10

3

．

點(diǎn)評：本題考查了圓周角定理的運(yùn)用，直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，等腰三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，切線的判定定理的運(yùn)用，解答時正確添加輔助線是關(guān)鍵．