Question

有一根直尺短邊長2厘米，長邊長10厘米，還有一塊銳角為45°的直角三角形紙板，它的斜邊長為12厘米．如圖甲，將直尺的短邊DE與直角三角形紙板的斜邊AB重合，且點(diǎn)D與點(diǎn)A重合．將直尺沿射線AB方向平移，如圖乙，設(shè)平移的長度為xcm，且滿足0≤x≤10，直尺和三角形紙板重疊部分的面積（即圖中陰影部分）為Scm²．

（1）當(dāng)x=0cm時(shí)，S=

 

；當(dāng)x=4cm時(shí)，S=

 

；當(dāng)x=10cm時(shí)，S=

 

．
（2）當(dāng)4＜x＜6時(shí)（如圖丙），請(qǐng)用含x的代數(shù)式表示S．
（3）是否存在一個(gè)位置，使陰影部分面積為11cm²？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)x的值．

Answer 1

考點(diǎn)：相似形綜合題

專題：

分析：（1）當(dāng)x=0cm時(shí)，直尺和三角形紙板重疊部分的面積是兩直角邊都為2厘米的三角形面積；當(dāng)x=4cm時(shí)，直尺和三角形紙板重疊部分的面積=兩直角邊都為6厘米的三角形面積-兩直角邊都為4厘米的三角形面積；當(dāng)x=10cm時(shí)，直尺和三角形紙板重疊部分的面積是兩直角邊都為2厘米的三角形面積；
（2）過點(diǎn)C做CM⊥AB于點(diǎn)M．當(dāng)4＜x＜6時(shí)，根據(jù)S=梯形GDMC的面積+梯形CMEF的面積，列式計(jì)算即可求解；
（3）根據(jù)陰影部分面積為11cm²，列出方程-x²+10x-14=11，解方程即可求解．

解答：解：（1）當(dāng)x=0cm時(shí)，S=2×2÷2=2cm²；
當(dāng)x=4cm時(shí)，S=6×6÷2-4×4÷2=10cm²；
當(dāng)x=10cm時(shí)，S=2×2÷2=2cm²．
故答案為：2cm²；10cm²；2cm²．

（2）如圖所示：過點(diǎn)C做CM⊥AB于點(diǎn)M．
當(dāng)4＜x＜6時(shí)，
梯形GDMC的面積=

1

2

（GD+CM）×DM
=

1

2

（x+6）（6-x）
=-

1

2

x²+18，
梯形CMEF的面積=

1

2

（EF+CM）×ME
=

1

2

[12-(x+2)+6][(x+2)-6]
=

1

2

（16-x）（x-4）
=-

1

2

x²+10x-32，
S=梯形GDMC的面積+梯形CMEF的面積=(-

1

2

x2+18)+(-

1

2

x2+10x-32)=-x²+10x-14；

（3）當(dāng)x=4時(shí)，S=10cm²，
所以當(dāng)S=11cm²時(shí)，x必然大于4，即-x²+10x-14=11，
解得x₁=x₂=5，
所以當(dāng)x=5cm時(shí)，陰影部分面積為11cm²．

點(diǎn)評(píng)：考查了相似形綜合題，涉及的知識(shí)點(diǎn)有：直角三角形的面積，矩形的性質(zhì)，梯形的面積，分類思想的應(yīng)用，方程思想的應(yīng)用，綜合性較強(qiáng)，難度中等．