【題目】如圖,折疊矩形OABC的一邊BC,使點(diǎn)C落在OA邊的點(diǎn)D處,已知折痕BE=5,且,以O(shè)為原點(diǎn),OA所在的直線為x軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,拋物線l:y=-+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)E,且與AB邊相交于點(diǎn)F.
(1)求證:△ABD∽△ODE;
(2)若M是BE的中點(diǎn),連接MF,求證:MF⊥BD;
(3)P是線段BC上一點(diǎn),點(diǎn)Q在拋物線l上,且始終滿足PD⊥DQ,在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,能否使得PD=DQ?若能,求出所有符合條件的Q點(diǎn)坐標(biāo);若不能,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1)見解析;(2)見解析;(3)(﹣4,0)或(12,0)
【解析】
試題由折疊和矩形的性質(zhì)可知∠EDB=∠BCE=90°,可證得∠EDO=∠DBA,可證明△ABD∽△ODE;由條件可求得OD、OE的長(zhǎng),可求得拋物線解析式,結(jié)合(1)由相似三角形的性質(zhì)可求得DA、AB,可求得F點(diǎn)坐標(biāo),可得到BF=DF,又由直角三角形的性質(zhì)可得MD=MB,可證得MF為線段BD的垂直平分線,可證得結(jié)論;過(guò)D作x軸的垂線交BC于點(diǎn)G,設(shè)拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為M、N,可求得DM=DN=DG,可知點(diǎn)M、N為滿足條件的點(diǎn)Q,可求得Q點(diǎn)坐標(biāo).
試題解析:(1)證明:∵四邊形ABCO為矩形,且由折疊的性質(zhì)可知△BCE≌△BDE,
∴∠BDE=∠BCE=90°,∵∠BAD=90°,∴∠EDO+∠BDA=∠BDA+∠DAB=90°,
∴∠EDO=∠DBA,且∠EOD=∠BAD=90°,∴△ABD∽△ODE;
(2)證明:∵,∴設(shè)OD=4x,OE=3x,則DE=5x,∴CE=DE=5x,∴AB=OC=CE+OE=8x,
又∵△ABD∽△ODE,∴,∴DA=6x,∴BC=OA=10x,
在Rt△BCE中,由勾股定理可得,即,解得x=1,
∴OE=3,OD=4,DA=6,AB=8,OA=10,∴拋物線解析式為y=﹣+3,
當(dāng)x=10時(shí),代入可得y=,∴AF=,BF=AB﹣AF=8﹣=,
在Rt△AFD中,由勾股定理可得DF= ∴BF=DF,
又M為Rt△BDE斜邊上的中點(diǎn),∴MD=MB,∴MF為線段BD的垂直平分線,∴MF⊥BD;
(3)解:由(2)可知拋物線解析式為y=﹣+3,設(shè)拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為M、N,
令y=0,可得0=﹣+3,解得x=﹣4或x=12,∴M(﹣4,0),N(12,0),
過(guò)D作DG⊥BC于點(diǎn)G,如圖所示,
則DG=DM=DN=8,∴點(diǎn)M、N即為滿足條件的Q點(diǎn),
∴存在滿足條件的Q點(diǎn),其坐標(biāo)為(﹣4,0)或(12,0
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知?jiǎng)狱c(diǎn)A在函數(shù)y=(x>0)的圖象上,AB⊥x軸于點(diǎn)B,AC⊥y軸于點(diǎn)C,延長(zhǎng)CA至點(diǎn)D,使AD=AB,延長(zhǎng)BA至點(diǎn)E,使AE=AC,直線DE分別交x軸,y軸于點(diǎn)P,Q,當(dāng)QE:DP=9:25時(shí),圖中的陰影部分的面積等于___.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】適逢中高考期間,某文具店平均每天可賣出支鉛筆,賣出支鉛筆的利潤(rùn)是元,經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn),零售單價(jià)毎降元,每天可多賣出支鉛筆,為了使每天獲取的利潤(rùn)更多,該文具店決定把零售單價(jià)下降元
零售單價(jià)下降元后,該文具店平均每天可賣出________支鉛筆,總利潤(rùn)為________元.
在不考慮其他因素的條件下,當(dāng)定為多少元時(shí),才能使該文具店每天賣鉛筆獲取的利潤(rùn)為元?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】課間,小明拿著老師的等腰直角三角板玩,不小心掉到兩墻之間,如圖,.
(1)求證:;
(2)若三角板的一條直角邊,請(qǐng)你幫小明求出砌墻磚塊的厚度a的大。繅K磚的厚度相等).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,AC平分∠BCD,AB=AD, AE⊥BC于E,AF⊥CD于F
(1)若∠ABE= 50° ,求∠CDA的度數(shù).
(2)若AE=4,BE=2,CD=6,求四邊形AECD 的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在等腰RtABC 中,∠BAC=90°,在BC上截取BD=BA,作∠ABC的平分線與AD相交于點(diǎn)P,連接PC,若△ABC的面積為8cm2,則△BPC的面積為( )
A. 4cm2 B. 5cm2 C. 6cm2 D. 7cm2
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知:如圖,點(diǎn)D在△ABC的邊BC上,AB=AC=CD,AD=BD,求△ABC各內(nèi)角的度數(shù).
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【題目】甲車從A地到B地,乙車從B地到A地,乙車先出發(fā)先到達(dá),甲乙兩車之間的距離y(千米)與行駛的時(shí)間x(小時(shí))的函數(shù)關(guān)系如圖所示,則下列說(shuō)法中不正確的是( 。
A.甲車的速度是80km/hB.乙車的速度是60km/h
C.甲車出發(fā)1h與乙車相遇D.乙車到達(dá)目的地時(shí)甲車離 B地10km
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