Question

【題目】如圖1，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA＝CB，CE＝CD，△ACB的頂點A在△ECD的斜邊DE上

（1）求證：AE2+AD2＝2AC2；

（2）如圖2，若AE＝2，AC＝2，點F是AD的中點，直接寫出CF的長是　　．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）如圖1（見解析），連接BD，先根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得出，，再根據(jù)勾股定理可得出，然后根據(jù)三角形全等的判定定理與性質(zhì)可得，，從而可得，最后在中，利用勾股定理、等量代換即可得證；

（2）如圖2（見解析），過點C作于H，先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)得出，再根據(jù)題（1）的結(jié)論可求出，從而可得DF的長，然后根據(jù)線段的和差、線段中點的定義可得，，最后利用勾股定理即可得．

（1）如圖1，連接BD

∵與都是等腰直角三角形

∴，

∴

∵

∴

在和中，

∴

∴，

∴

在中，

∴；

（2）如圖2，過點C作于H

則CH是DE邊的中線（等腰三角形的三線合一）

由（1）可知，

解得或（不符題意，舍去）

∵點F是AD的中點

∴

在中，

故答案為：．