Question

【題目】如圖所示，⊙O中，弦AC、BD交于E，．

（1）求證：；

（2）延長(zhǎng)EB到F，使EF＝CF，試判斷CF與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）CF與⊙O相切，理由詳見解析.

【解析】

（1）連接BC，由=2，得=，則∠ABD=∠ACB，得到△ABE∽△ABC，所以AB2＝AEAC；
（2）連接AO、CO，由A為中點(diǎn)，得到AO⊥DB，得到∠OAC+∠AED=90°，所以∠OAC+∠FEC=90°，而EF=CF，則∠FEC=∠ECF，又∠OAC=∠OCA，所以∠OAC+∠FEC=∠OCA+∠ECF=90°，即得到CF與⊙O相切．

證明：（1）連接BC，如圖，

∵=2.

∴=.

∴∠ABD＝∠ACB，

而∠CAB公用，

∴△ABE∽△ABC，

∴

∴

（2）CF與⊙O相切．理由如下：

連接AO、CO，

∵A為中點(diǎn)，

∴AO⊥DB，

∴∠OAC+∠AED＝90°

∵∠AED＝∠FEC，

∴∠OAC+∠FEC＝90°，

又∵EF＝CF，

∴∠FEC＝∠ECF，

∵AO＝OC，

∴∠OAC＝∠OCA，

∴∠OAC+∠FEC＝∠OCA+∠ECF＝90°，

∴FC與⊙O相切．