Question

【題目】“分塊計(jì)數(shù)法”：對(duì)有規(guī)律的圖形進(jìn)行計(jì)數(shù)時(shí)，有些題可以采用“分塊計(jì)數(shù)”的方法．

例如：圖1有6個(gè)點(diǎn)，圖2有12個(gè)點(diǎn)，圖3有18個(gè)點(diǎn)，…，按此規(guī)律，求圖8、圖有多少個(gè)點(diǎn)？

我們將每個(gè)圖形分成完全相同的6塊，每塊黑點(diǎn)的個(gè)數(shù)相同（如圖），這樣圖1中黑點(diǎn)個(gè)數(shù)是個(gè)；圖2中黑點(diǎn)個(gè)數(shù)是個(gè)；圖3中黑點(diǎn)個(gè)數(shù)是個(gè)；…，所以容易求出圖8、圖中黑點(diǎn)的個(gè)數(shù)分別是______、_________．

請(qǐng)你參考以上“分塊計(jì)數(shù)法”，先將下面的點(diǎn)陣進(jìn)行分塊（畫(huà)在答題卡上），再完成以下問(wèn)題：

（1）第6個(gè)點(diǎn)陣中有______個(gè)圓圈；第個(gè)點(diǎn)陣中有______個(gè)圓圈．

（2）小圓圈的個(gè)數(shù)會(huì)等于331嗎？請(qǐng)求出是第幾個(gè)點(diǎn)陣．

Answer 1

【答案】48；6n；（1）91；；（2）會(huì)；第11個(gè)點(diǎn)陣

【解析】

根據(jù)規(guī)律可求得圖8中黑點(diǎn)個(gè)數(shù)和圖n中黑點(diǎn)個(gè)數(shù)；
（1）第2個(gè)圖中2為一塊，分為3塊，余1，第3個(gè)圖中3為一塊，分為6塊，余1；按此規(guī)律得：第6個(gè)點(diǎn)陣中6為一塊，分為15塊，余1，得第n個(gè)點(diǎn)陣中有：n×3（n-1）+1=3n2-3n+1；
（2）令3n2-3n+1=331，方程有解則存在這樣的點(diǎn)陣，據(jù)此解答.

解：圖8中黑點(diǎn)個(gè)數(shù)是6×8=48個(gè)；圖n中黑點(diǎn)個(gè)數(shù)是6n個(gè)；

（1）如圖所示：第1個(gè)點(diǎn)陣中有：1個(gè)，
第2個(gè)點(diǎn)陣中有：2×3+1=7個(gè)，
第3個(gè)點(diǎn)陣中有：3×6+1=19個(gè)，
第4個(gè)點(diǎn)陣中有：4×9+1=37個(gè)，
第5個(gè)點(diǎn)陣中有：5×12+1=61個(gè)，

第6個(gè)點(diǎn)陣中有：6×15+1=91個(gè)，
…
第n個(gè)點(diǎn)陣中有：n×3（n-1）+1=3n2-3n+1，
故答案為：91，3n2-3n+1；

（2）3n2-3n+1=331，
n2-n-110=0，
（n-11）（n+10）=0，
n1=11，n2=-10（舍），
∴小圓圈的個(gè)數(shù)會(huì)等于331，它是第11個(gè)點(diǎn)陣．