Question

如圖，以AB為直徑的⊙O交∠BAD的角平分線于C，過(guò)C作CD⊥AD于D，交AB的延長(zhǎng)線于E．

（1）求證：CD為⊙O的切線．

（2）若=，求cos∠DAB．

Answer 1

【考點(diǎn)】切線的判定；角平分線的性質(zhì)；勾股定理；解直角三角形．

【專題】幾何綜合題．

【分析】（1）連接OC，推出∠DAC=∠CAB，∠OAC=∠OCA，求出∠DAC=∠OCA，得出OC∥AD，推出OC⊥DC，根據(jù)切線的判定判斷即可；

（2）連接BC，可證明△ACD∽△ABC，得出比例式，求出BC，求出圓的直徑AB，再根據(jù)勾股定理得出CE，即可求出答案．

【解答】（1）證明：連接OC，

∵AC平分∠DAB，

∴∠DAC=∠CAB，

∵OC=OA，

∴∠OAC=∠OCA，

∴∠DAC=∠OCA，

∴OC∥AD，

∵AD⊥CD，

∴OC⊥CD，

∵OC為⊙O半徑，

∴CD是⊙O的切線；

 

（2）解：連接BC，

∵AB為直徑，

∴∠ACB=90°，

∵AC平分∠BAD，

∴∠CAD=∠CAB，

∵=，

∴令CD=3，AD=4，得AC=5，

∴=，

=，

∴BC=，

由勾股定理得AB=，

∴OC=，

∵OC∥AD，

∴=，

∴=，

解得AE=，

∴cos∠DAB===．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的判定以及角平分線的定義、勾股定理和解直角三角形，是中學(xué)階段的重點(diǎn)內(nèi)容．