Question

如圖，四邊形ABCD的四個頂點都在⊙O上，AC⊥BD于E，OF⊥AB于F，求證：2OF=CD．

Answer 1

考點：圓周角定理,三角形中位線定理

專題：證明題

分析：如圖，作輔助線；證明∠DBC=∠BAG，得到BG=DC；證明OF是△ABG的中位線，得到BG=2OF，即可解決問題．

解答：證明：如圖，連接AO并延長，交⊙O于點G；
則∠ABG=90°；而AC⊥BD，
∴∠DBC=90°-∠ACB，∠BAG=90°-∠AGB，
∵∠ACB=∠AGB，
∴∠DBC=∠BAG，
∴BG=DC；
∵OF⊥AB，∠ABG=90°，
∴OF∥BG，AF=BF；而OA=OG，
∴OF是△ABG的中位線，
∴BG=2OF，
∴2OF=CD．

點評：該題以圓為載體，以考查圓周角定理及其推論、三角形的中位線定理及其應(yīng)用問題；解題的關(guān)鍵是作中位線，靈活運用有關(guān)定理來分析、解答．