Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形AOBC是矩形，點(diǎn)O（0，0），點(diǎn)A（5，0），點(diǎn)B（0，3）．以點(diǎn)A為中心，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)矩形AOBC，得到矩形ADEF，點(diǎn)O，B，C的對應(yīng)點(diǎn)分別為D，E，F．

（1）如圖①，當(dāng)點(diǎn)D落在BC邊上時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）如圖②，當(dāng)點(diǎn)D落在線段BE上時(shí)，AD與BC交于點(diǎn)H．

①求證△ADB≌△AOB；

②求點(diǎn)H的坐標(biāo)．

（3）記K為矩形AOBC對角線的交點(diǎn)，S為△KDE的面積，求S的取值范圍（直接寫出結(jié)果即可）．

Answer 1

【答案】（1）D（1，3）；（2）①詳見解析；②H（，3）；（3）≤S≤．

【解析】

（1）如圖①，在Rt△ACD中求出CD即可解決問題；
（2）①根據(jù)HL證明即可；
②，設(shè)AH=BH=m，則HC=BC-BH=5-m，在Rt△AHC中，根據(jù)AH2=HC2+AC2，構(gòu)建方程求出m即可解決問題；
（3）如圖③中，當(dāng)點(diǎn)D在線段BK上時(shí)，△DEK的面積最小，當(dāng)點(diǎn)D在BA的延長線上時(shí)，△D′E′K的面積最大，求出面積的最小值以及最大值即可解決問題；

（1）如圖①中，

∵A（5，0），B（0，3），

∴OA=5，OB=3，

∵四邊形AOBC是矩形，

∴AC=OB=3，OA=BC=5，∠OBC=∠C=90°，

∵矩形ADEF是由矩形AOBC旋轉(zhuǎn)得到，

∴AD=AO=5，

在Rt△ADC中，CD==4，

∴BD=BC-CD=1，

∴D（1，3）．

（2）①如圖②中，

由四邊形ADEF是矩形，得到∠ADE=90°，

∵點(diǎn)D在線段BE上，

∴∠ADB=90°，

由（1）可知，AD=AO，又AB=AB，∠AOB=90°，

∴Rt△ADB≌Rt△AOB（HL）．

②如圖②中，由△ADB≌△AOB，得到∠BAD=∠BAO，

又在矩形AOBC中，OA∥BC，

∴∠CBA=∠OAB，

∴∠BAD=∠CBA，

∴BH=AH，設(shè)AH=BH=m，則HC=BC-BH=5-m，

在Rt△AHC中，∵AH2=HC2+AC2，

∴m2=32+（5-m）2，

∴m=，

∴BH=，

∴H（，3）．

（3）如圖③中，當(dāng)點(diǎn)D在線段BK上時(shí)，△DEK的面積最小，最小值=DEDK=×3×（5-）=，

當(dāng)點(diǎn)D在BA的延長線上時(shí)，△D′E′K的面積最大，最大面積=×D′E′×KD′=×3×（5+）=．

綜上所述，≤S≤．