【題目】如圖,二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象與y軸交于點(diǎn)A(0,4),與x軸負(fù)半軸交于B,與正半軸交于點(diǎn)C(8,0),且∠BAC=90°.
(1)求該二次函數(shù)解析式;
(2)若N是線段BC上一動(dòng)點(diǎn),作NE∥AC,交AB于點(diǎn)E,連結(jié)AN,當(dāng)△ANE面積最大時(shí),求點(diǎn)N的坐標(biāo);
(3)若點(diǎn)P為x軸上方的拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),連接PA、PC,設(shè)所得△PAC的面積為S.問:是否存在一個(gè)S的值,使得相應(yīng)的點(diǎn)P有且只有2個(gè)?若有,求出這個(gè)S的值,并求此時(shí)點(diǎn)P的橫坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.
【答案】(1)y=﹣x2+x+4;(2)(3,0);(3)當(dāng)S=16時(shí),相應(yīng)的點(diǎn)P有且只有兩個(gè)
【解析】
(1)證明,求出點(diǎn)B坐標(biāo),利用待定系數(shù)法即可求出二次函數(shù)解析式;
(2)設(shè)N(n,0),則BN=n+2,BC=10,證明△BNE∽△BAC,得到S△BEN=(n+2)2,再求出S△BAN=2n+4,利用割補(bǔ)法求出,根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)即可求解;
(3)設(shè)P,分別求出當(dāng)0<m<8和﹣2≤m<0時(shí)S與m函數(shù)關(guān)系式,假設(shè)存在一個(gè)S的值,使得相應(yīng)的點(diǎn)P有且只有2個(gè),得到當(dāng)S=16時(shí),m=4或m=這兩個(gè),問題得解.
解:(1)∵∠BAC=90°,∠AOC==90°,
∴
∴OA2=OBOC,
由題意知:OA=4,OC=8,
∴42=OB8,
∴OB=2,
∴B(﹣2,0),
將A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)代入即得:
,
解得:,
∴拋物線解析式為:y=﹣x2+x+4;
(2)設(shè)N(n,0),則BN=n+2,BC=10,
∵NE∥AC,
∴△BNE∽△BAC,
∴,
∵S△AC=×10×4=20,
∴,
S△BEN=(n+2)2,
∵S△BAN=×(n+2)×4=2n+4,
∴,
∵,
∴當(dāng)n=3時(shí),最大值S△ANE=5,
此時(shí)N的坐標(biāo)為:(3,0);
(3)設(shè)直線AC對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為:y=kx+b,
則,
解得:,
∴直線AC對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為,
如圖,過P作PH⊥OC,垂足為H,交直線AC于點(diǎn)Q;
設(shè)P,則Q.
①當(dāng)0<m<8時(shí),
PQ,
S=S△APQ+S△CPQ=×8×=﹣(m﹣4)2+16,
∴0<S≤16;
②當(dāng)﹣2≤m<0時(shí),
PQ=()﹣()=,
S=S△CPQ﹣S△APQ=×8×()=(m﹣4)2﹣16,
∴0<S<20;
∴當(dāng)0<S<16時(shí),0<m<8中有m兩個(gè)值,﹣2≤m<0中m有一個(gè)值,此時(shí)有三個(gè);
當(dāng)16<S<20時(shí),﹣2≤m<0中m只有一個(gè)值;
當(dāng)S=16時(shí),m=4或m=這兩個(gè).
故當(dāng)S=16時(shí),相應(yīng)的點(diǎn)P有且只有兩個(gè).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知拋物線與x軸交于點(diǎn),且.拋物線與y軸交于點(diǎn)C,將點(diǎn)C向上移動(dòng)1個(gè)單位得到點(diǎn)D.
(1)求拋物線對(duì)稱軸;
(2)求點(diǎn)D縱坐標(biāo)(用含有a的代數(shù)式表示);
(3)已知點(diǎn),若拋物線與線段只有一個(gè)公共點(diǎn),求a的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,正方形.... 按如圖的方式放置.點(diǎn)和點(diǎn)分別落在直線和軸上.拋物線過點(diǎn),且頂點(diǎn)在直線上,拋物線過點(diǎn),且頂點(diǎn)在直線上,...按此規(guī)律,拋物線,過點(diǎn), 且頂點(diǎn)也在直線上,其中拋物線交正方形的邊于點(diǎn),拋物線交正方形的邊于點(diǎn)(其中且為正整數(shù)) .
(1)直接寫出下列點(diǎn)的坐標(biāo): , ;
(2)寫出拋物線的解析式,并寫出拋物線的解析式求解過程,再猜想拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo);
(3)設(shè),試判斷與的數(shù)量關(guān)系并說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖正方形先向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度,再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度,得到正方形,形成了中間深色的正方形及四周淺色的邊框,已知正方形的面積為16,則四周淺色邊框的面積是________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在菱形ABCD中,AB=6,∠DAB=60°,AE分別交BC、BD于點(diǎn)E、F,若CE=2,連接CF.以下結(jié)論:①∠BAF=∠BCF; ②點(diǎn)E到AB的距離是2; ③S△CDF:S△BEF=9:4; ④tan∠DCF=3/7. 其中正確的有()
A. 4個(gè) B. 3個(gè) C. 2個(gè) D. 1個(gè)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:如圖,在△ABC中,AB=AC=5,BC=8,D,E分別為BC,AB邊上一點(diǎn),∠ADE=∠C.
(1)求證:△BDE∽△CAD;
(2)若CD=2,求BE的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖在坐標(biāo)系中放置一菱形OABC,已知∠ABC=60°,OA=1.先將菱形OABC沿x軸的正方向無滑動(dòng)翻轉(zhuǎn),每次翻轉(zhuǎn)60°,連續(xù)翻轉(zhuǎn)2020次,點(diǎn)B的落點(diǎn)依次為B1,B2,B3,…,則B2020的坐標(biāo)為_________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,AB是⊙O的直徑, OE垂直于弦BC,垂足為F,OE交⊙O于點(diǎn)D,且∠CBE=2∠C.
(1)求證:BE與⊙O相切;
(2)若DF=9,tanC=,求直徑AB的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在中,,延長(zhǎng)使,線段繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段,連結(jié).
(1)依據(jù)題意補(bǔ)全圖形;
(2)當(dāng)時(shí),的度數(shù)是__________;
(3)小聰通過畫圖、測(cè)量發(fā)現(xiàn),當(dāng)是一定度數(shù)時(shí),.
小聰把這個(gè)猜想和同學(xué)們進(jìn)行交流,通過討論,形成了證明該猜想的幾種想法:
想法1:通過觀察圖形可以發(fā)現(xiàn),如果把梯形補(bǔ)全成為正方形,就易證,因此易得當(dāng)是特殊值時(shí),問題得證;
想法2:要證,通過第(2)問,可知只需要證明是等邊三角形,通過構(gòu)造平行四邊形,易證,通過,易證,從而解決問題;
想法3:通過,連結(jié),易證,易得是等腰三角形,因此當(dāng)是特殊值時(shí),問題得證.
請(qǐng)你參考上面的想法,幫助小聰證明當(dāng)是一定度數(shù)時(shí),.(一種方法即可)
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