Question

（12分）探究：

在矩形ABCD中，M是AD的中點，點E是線段AB上一動點，連接EM并延長交線段CD的延長線于點F．

（1）如圖1，求證：ME=MF；

（2）如圖2，點G是線段BC上一點，連接GE、GF、GM，若△EGF是等腰直角三角形，∠EGF=90°，求AB：AD的值；

（3）如圖3，點G是線段BC延長線上一點，連接GE、GF、GM，若△EGF是等邊三角形，直接寫出AB、AD滿足的數(shù)量關(guān)系.

 

Answer 1

見解析

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)ABCD是矩形，得出∠EAM=∠FDM=90°，根據(jù)AM=DM，∠AME=∠FMD證出△AEM≌△DFM，即可得出ME=FM；（2）過點G作GH⊥AD于H，根據(jù)條件證出△AEM≌△HMG，得出GH=AM，因為點M是中點，所以AB=HG=AM=AD，所以AB:AD=2:1；（3）過點G作GH⊥AD交AD延長線于點H，連接MG，則∠GHM=∠A，根據(jù)△GEF是等邊三角形，得出EM=FM，GM⊥EF，∠AME+∠GMH=90°，根據(jù)∠AME+∠AEM=90°，得出∠GMH=∠AEM，證出△AEM∽△HMG，所以，又根據(jù)題意可知∠MGF=∠EGM=30°,所以，所以,AB=HG,所以AB=．

試題解析：（1）證明：在矩形ABCD中，∠A＝∠FDM＝90°.又∵AM＝DM，∠AME＝∠DMF，

∴△AME≌△DMF，∴ME=MF.

（2）【解析】
如圖，過點G作GH⊥AD于點H.

∴四邊形ABGH是矩形.∵△EGF是等腰直角三角形，由（1）得，ME=MF，∴ME=MG，∠EMG＝90°.

∴∠AME+∠DMG＝∠HGM+∠DMG=90°,∴∠AME＝∠HGM.又∵∠A＝∠MHG，∴△AME≌△HGM

∴AM=HG.∴AB=HG=AM=AD∴AD=2AB∴AB:AD=2:1

（3）AB=

考點：1.矩形的性質(zhì)；2.三角形的全等與相似；3.等腰三角形的性質(zhì)；4.等邊三角形的性質(zhì).