【題目】如圖,在銳角ΔABC中,已知AB=AC,D為底邊BC上的一點(diǎn),E為線段AD上的一點(diǎn),且∠BED=∠BAC=2∠DEC,連接CE.
(1)求證:∠ABE=∠DAC
(2)若∠BAC=60°,試判斷BD與CD有怎樣的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論;
【答案】(1)見解析;(2)BD=2CD,理由見解析.
【解析】
(1)根據(jù)∠BED=∠BAE+∠ABE,∠BAC=∠BAE+∠DAC,且有∠BED=∠BAC,通過計算即可證得結(jié)論;
(2)在AD上取一點(diǎn)F,使得AF=BE,連接CF.過點(diǎn)C作CH∥BE,交直線AD于H點(diǎn),證明△ACF≌△BAE(SAS),得出AE=CF,∠AEB=∠CFA,證出CF=CH,CF=EF,得出BE=2CH,由平行線分線段成比例定理得出BE:CH=BD:CD=2,即可得出結(jié)論.
(1)證明:
∵∠BED=∠BAE+∠ABE,∠BAC=∠BAE+∠DAC,
又∵∠BED =∠BAC,
∴∠BAE+∠ABE =∠BAE+∠DAC,
∴∠ABE=∠DAC;
(2)解:BD=2CD,理由如下:
如圖,在AD上取一點(diǎn)F,使得AF=BE,連接CF.過點(diǎn)C作CH∥BE,交直線AD于H點(diǎn).
在△ACF和△BAE中,
∴△ACF≌△BAE(SAS),
∴AE=CF,∠AEB=∠CFA,
∵∠AEB+∠BED=∠CFA+∠CFD=180°,
∴∠BED=∠CFD,
∵CH∥BE,
∴∠BED=∠CHD=∠CFD,
∴CF=CH,
∵∠BED=2∠DEC,∠CFD=∠DEC+∠ECF,
∴∠DEC=∠ECF,
∴CF=EF=AE,
∴BE=AF=2CH,
∵CH∥BE,
∴BE:CH=BD:CD=2,
即BD=2CD.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,給出如下定義:已知兩個函數(shù),如果對于任意的自變量x,這兩個函數(shù)對應(yīng)的函數(shù)值記為y1、y2,都有點(diǎn)(x,y1)和(x,y2)關(guān)于點(diǎn)(x,x)中心對稱(包括三個點(diǎn)重合時),由于對稱中心都在直線y=x上,所以稱這兩個函數(shù)為關(guān)于直線y=x的特別對稱函數(shù).例如:y=x和y=為關(guān)于直線y=x的特別對稱函數(shù).
(1)若y=3x+2和y=kx+t(k≠0)為關(guān)于直線y=x的特別對稱函數(shù),點(diǎn)M(1,m)是y=3x+2上一點(diǎn).
①點(diǎn)M(1,m)關(guān)于點(diǎn)(1,1)中心對稱的點(diǎn)坐標(biāo)為 .
②求k、t的值.
(2)若y=3x+n和它的特別對稱函數(shù)的圖象與y軸圍成的三角形面積為2,求n的值.
(3)若二次函數(shù)y=ax2+bx+c和y=x2+d為關(guān)于直線y=x的特別對稱函數(shù).
①直接寫出a、b的值.
②已知點(diǎn)P(﹣3,1)、點(diǎn)Q(2,1),連結(jié)PQ,直接寫出y=ax2+bx+c和y=x2+d兩條拋物線與線段PQ恰好有兩個交點(diǎn)時d的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,點(diǎn)C是BA延長線上一點(diǎn),CD切⊙O于D點(diǎn),弦DE∥CB,Q是AB上一動點(diǎn),CA=1,CD是⊙O半徑的倍.
(1)求⊙O的半徑R;
(2)當(dāng)Q從A向B運(yùn)動的過程中,圖中陰影部分的面積是否發(fā)生變化?若發(fā)生變化,請你說明理由;若不發(fā)生變化,請你求出陰影部分的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】閱讀下面的情景對話,然后解答問題:
老師:我們定義一種三角形,兩邊平方和等于第三邊平方的2倍的三角形叫做奇異三角形.
小華:等邊三角形一定是奇異三角形!
小明:那直角三角形中是否存在奇異三角形呢?
問題(1):根據(jù)“奇異三角形”的定義,請你判斷小華提出的猜想:“等邊三角形一定是奇異三角形”是否正確?__________.(填“是”或“否”)
問題(2):已知RtΔABC中,兩邊長分別是,10,,若這個三角形是奇異三角形,則第三邊是__________.
問題(3):如圖,以AB為斜邊分別在AB的兩側(cè)作直角三角形,且AD=BD,若四邊形ADBC內(nèi)存在點(diǎn)E,使得AE=AD,CB=CE.試說明:△ACE是奇異三角形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,∠ABC=∠DEF,AB=DE,要證明△ABC≌△DEF,需要添加一個條件為_______(只添加一個條件即可);
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,B、C、D在同一直線上,△ABC和△CDE都是等邊三角形,且在直線BD的同側(cè),連接BE交AC于點(diǎn)F,連接AD交CE于點(diǎn)G,連接FG.
(1)求證:AD=BE;
(2)求證:△ACG≌△BCF;
(3)試猜想△CFG的形狀,并說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,直線l上有一點(diǎn)P1(2,1),將點(diǎn)P1先向右平移1個單位,再向上平移2個單位得到點(diǎn)P2,點(diǎn)P2恰好在直線l上.
(1)求直線l所表示的一次函數(shù)的表達(dá)式;
(2)若將點(diǎn)P2先向右平移3個單位,再向上平移6個單位得到點(diǎn)P3.請判斷點(diǎn)P3是否在直線l上.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在圓內(nèi)接四邊形ABCD中,CD為△BAC的外角平分線,F為弧AD上一點(diǎn),BC=AF,延長DF與BA的延長線交于E.
(1)求證:AD=BD;
(2)若AC=10,AF=3,DF:FE=3:2,求DE的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,,點(diǎn)、分別在、上,連接,、的平分線交于點(diǎn),、的平分線交于點(diǎn).
求證:四邊形是矩形.
小明在完成的證明后繼續(xù)進(jìn)行了探索,過點(diǎn)作,分別交、于點(diǎn)、,過點(diǎn)作,分別交、于點(diǎn)、,得到四邊形.此時,他猜想四邊形是菱形.請在下列框圖中補(bǔ)全他的證明思路.
小明的證明思路:由,,易證,四邊形是平行四邊形.要證□是菱形,只要證.由已知條件________,,可證,故只要證,即證,易證________,________,故只要證,易證,,________,故得,即可得證.
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