【題目】如圖,拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)(A在B點(diǎn)左側(cè)),與y軸交于點(diǎn)C,對(duì)稱軸為直線x=,OA=2,OD平分∠BOC交拋物線于點(diǎn)D(點(diǎn)D在第一象限);
(1)求拋物線的解析式和點(diǎn)D的坐標(biāo);
(2)點(diǎn)M是拋物線上的動(dòng)點(diǎn),在x軸上存在一點(diǎn)N,使得A、D、M、N四個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形,求出點(diǎn)M的坐標(biāo);
(3)在拋物線的對(duì)稱軸上,是否存在一點(diǎn)P,使得△BPD的周長(zhǎng)最。咳舸嬖,請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1)y=﹣x2+x+3,(2,2);(2)(﹣1,2)或(,﹣2)或(,﹣2);(3)存在,( , ).
【解析】(1)由于A、B關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱,根據(jù)對(duì)稱軸方程求出B點(diǎn)的坐標(biāo),然后將它們代入拋物線的解析式可求出待定系數(shù)的值;OD平分∠BOC,那么直線OD的解析式為y=x,聯(lián)立拋物線的解析式即可求出D點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)分兩種情況討論:①以AD為對(duì)角線的平行四邊形AMDN,此時(shí)MD∥x軸,則M、D的縱坐標(biāo)相同,由此可求得M點(diǎn)的坐標(biāo);②以AD為邊的平行四邊形ADNM,由于平行四邊形是中心對(duì)稱圖形,可求得△ADM≌△ADN,即M、N縱坐標(biāo)的絕對(duì)值相等,可據(jù)此求出M點(diǎn)的坐標(biāo);
(3)由于BD的長(zhǎng)為定值,若△BPD的周長(zhǎng)最短,那么PB+PD應(yīng)該最短,由于A、B關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱,連接AD,直線AD與對(duì)稱軸的交點(diǎn)即為所求的P點(diǎn),可用待定系數(shù)法求出直線AD的解析式,聯(lián)立拋物線對(duì)稱軸方程即可得到P點(diǎn)坐標(biāo).
解:(1)∵OA=2,
∴A(﹣2,0).
∵A與B關(guān)于直線x=對(duì)稱,
∴B(3,0),
∵A、B,兩點(diǎn)在拋物線y=﹣x2+bx+c上,
∴,
解得;
∴拋物線的解析式為y=﹣x2+x+3.
過(guò)D作DE⊥x軸于E.
∵∠BOC=90°,OD平分∠BOC,
∴∠DOB=45°,∠ODE=45°,
∴DE=OE,即xD=yD,
∴x=﹣x2+x+3,
解得x1=2,x2=﹣3(舍去),
∴D(2,2);
(2)分兩種情況討論:
①當(dāng)AD為平行四邊形AMDN的對(duì)角線時(shí),
∵MD∥AN,即MD∥x軸,
∴yM=yD,
∴M與D關(guān)于直線x=對(duì)稱,
∴M(﹣1,2);
②當(dāng)AD為平行四邊形ADNM的邊時(shí),
∵平行四邊形ADNM是中心對(duì)稱圖形,△AND≌△ANM,
∴|yM|=|yD|,即yM=﹣yD=﹣2,
∴令﹣x2+x+3=﹣2,即x2﹣x﹣10=0;
解得x=,
∴M(,﹣2)或M(,﹣2).
綜上所述:滿足條件的M點(diǎn)有3個(gè),即M(﹣1,2)或M(,﹣2)或M(,﹣2);
(3)∵BD為定值,
∴要使△BPD的周長(zhǎng)最小,只需PD+PB最小.
∵A與B關(guān)于直線x=對(duì)稱,
∴PB=PA,只需PD+PA最小.
連接AD,交對(duì)稱軸于點(diǎn)P,此時(shí)PD+PA最小.
由A(﹣2,0),D(2,2)可得直線AD:y=x+1,
令x=,得y=,
∴存在點(diǎn)P(, ),使△BPD的周長(zhǎng)最。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】有一條長(zhǎng)度為 a 的線段.
(1)如圖①,以該線段為直徑畫一個(gè)圓,該圓的周長(zhǎng) C1 = ;如圖②,分別以該線段的一半為直 徑畫兩個(gè)圓,這兩個(gè)圓的周長(zhǎng)的和 C2 = (都用含 a 的代數(shù)式表示,結(jié)果保留 )
(2)如圖③,在該線段上任取一點(diǎn),再分別以兩條小線段為直徑畫兩個(gè)圓,這兩個(gè)圓的周長(zhǎng)的和為 C3 ,探索 C1 和 C3 的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由。
(3)如圖④,當(dāng) a =10 時(shí),以該線段為直徑畫一個(gè)大圓,再在大圓內(nèi)畫若干個(gè)小圓,這些小圓的直徑都和 大圓的直徑在同一條直線上,且小圓的直徑的和等于大圓的直徑,那么圖中所有圓的周長(zhǎng)的和為 (結(jié) 果保留 )
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】根據(jù)要求畫圖,并回答問(wèn)題.
已知:直線AB,CD相交于點(diǎn)O,且OE⊥AB.
(1)過(guò)點(diǎn)O畫直線MN⊥CD;
(2)若點(diǎn)F是(1)中所畫直線MN上任意一點(diǎn)(O點(diǎn)除外),若∠AOC=35°,求∠EOF的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】學(xué)校通過(guò)初評(píng)決定最后從甲、乙、丙三個(gè)班中推薦一個(gè)班為縣級(jí)先進(jìn)班集體,下表是三個(gè)班的五項(xiàng)素質(zhì)考評(píng)得分表。
五項(xiàng)素質(zhì)考評(píng)得分表(單位:分)
班級(jí) | 行為規(guī)范 | 學(xué)習(xí)成績(jī) | 校運(yùn)動(dòng)會(huì) | 藝術(shù)獲獎(jiǎng) | 勞動(dòng)衛(wèi)生 |
甲班 | 10 | 10 | 6 | 10 | 7 |
乙班 | 10 | 8 | 8 | 9 | 8 |
丙班 | 9 | 10 | 9 | 6 | 9 |
根據(jù)統(tǒng)計(jì)表中的信息回答下列問(wèn)題:
(1)請(qǐng)你補(bǔ)全五項(xiàng)成績(jī)考評(píng)分析表中的數(shù)據(jù):
班級(jí) | 平均分 | 眾數(shù) | 中位數(shù) |
甲班 | 8.6 | 10 | ③ |
乙班 | 8.6 | ② | 8 |
丙班 | ① | 9 | 9 |
(2)參照上表中的數(shù)據(jù),你推薦哪個(gè)班為縣級(jí)先進(jìn)班集體?并說(shuō)明理由。
(3)如果學(xué)校把行為規(guī)范、學(xué)習(xí)成績(jī)、校運(yùn)動(dòng)會(huì)、藝術(shù)獲獎(jiǎng)、勞動(dòng)衛(wèi)生五項(xiàng)考評(píng)成績(jī)按照3∶2∶1∶1∶3的比確定班級(jí)的綜合成績(jī),學(xué)生處的李老師根據(jù)這個(gè)綜合成績(jī),繪制了一幅不完整的條形統(tǒng)計(jì)圖,請(qǐng)將這個(gè)統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整,按照這個(gè)成績(jī),應(yīng)推薦哪個(gè)班為縣級(jí)先進(jìn)班集體?為什么?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】健身運(yùn)動(dòng)已成為時(shí)尚,某公司計(jì)劃組裝A、B兩種型號(hào)的健身器材共40套,捐給社區(qū)健身中心. 組裝一套A型健身器材需甲種部件7個(gè)和乙種部件4個(gè),組裝一套B型健身器材需甲種部件3個(gè)和乙種部件6個(gè).公司現(xiàn)有甲種部件240個(gè),乙種部件196個(gè).
(1)公司在組裝A、B兩種型號(hào)的健身器材時(shí),共有多少種組裝方案?
(2)組裝一套A型健身器材需費(fèi)用20元,組裝一套B型健身器材需費(fèi)用18元,求總組裝費(fèi)用最少的組裝方案,最少總組裝費(fèi)用是多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知直線y=kx+b與反比例函數(shù)y=的圖象交于A(1,m)、B兩點(diǎn),與x 軸、y軸分別相交于C(4,0)、D兩點(diǎn).
(1)求直線y=kx+b的解析式;
(2)連接OA、OB,求△AOB的面積;
(3)直接寫出關(guān)于x的不等式kx+b<的解集是 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,BD是⊙O的弦,延長(zhǎng)BD到點(diǎn)C,使DC=BD,連接AC,過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC,垂足為E.
(1)求證:AB=AC;
(2)若⊙O的半徑為4,∠BAC=60°,求DE的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】計(jì)算:
(1)(x2y-2xy+y2)(-4xy);
(2)6mn2(2-mn4)+(-mn3)2;
(3)-4x2·(xy-y2)-3x·(xy2-2x2y);
(4).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,將△MNP的三邊分別向兩邊延長(zhǎng),并在每?jī)蓷l延長(zhǎng)線上任取兩點(diǎn)連接起來(lái),又得到了三個(gè)新的三角形.求證:∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°.
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