Question

【題目】如圖，在平行四邊形ABCD中，AE是BC邊上的高，將△ABE沿BC方向平移，使點E與點C重合，得△GFC．

（1）求證：BE=DG；
（2）若∠B=60°，當BC=AB時，四邊形ABFG是菱形；
（3）若∠B=60°，當BC=AB時，四邊形AECG是正方形．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC，AB=CD．

∵AE是BC邊上的高，且CG是由AE沿BC方向平移而成，

∴CG⊥AD．AE=CG

∴∠AEB=∠CGD=90°．

∵在Rt△ABE與Rt△CDG中， ，

∴Rt△ABE≌Rt△CDG（HL），

∴BE=DG．

（2）
（3）
【解析】（2）解：當BC= AB時，四邊形ABFG是菱形．

證明：∵AB∥GF，AG∥BF，

∴四邊形ABFG是平行四邊形．

∵Rt△ABE中，∠B=60°，

∴∠BAE=30°，

∴BE= AB（直角三角形中30°所對直角邊等于斜邊的一半），

∵BE=CF，BC= AB，

∴EF= AB．

∴AB=BF．

∴四邊形ABFG是菱形．

故答案是： ；（3）解：BC= AB時，四邊形AECG是正方形．

∵AE⊥BC，GC⊥CB，

∴AE∥GC，∠AEC=90°，

∵AG∥CE，

∴四邊形AECG是矩形，

當AE=EC時，矩形AECG是正方形，

∵∠B=60°，

∴EC=AE=ABsin60°= AB，BE= AB，

∴BC= AB．

故答案是： ．

【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用平行四邊形的性質(zhì)和菱形的判定方法的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握平行四邊形的對邊相等且平行；平行四邊形的對角相等，鄰角互補；平行四邊形的對角線互相平分；任意一個四邊形，四邊相等成菱形；四邊形的對角線，垂直互分是菱形．已知平行四邊形，鄰邊相等叫菱形；兩對角線若垂直，順理成章為菱形．