Question

如圖，在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)E，且AC⊥BD，∠ADB=∠CAD+∠ABD，∠BAD=3∠CBD．

（1）求證：△ABC為等腰三角形；

（2）M是線段BD上一點(diǎn)，BM：AB=3：4，點(diǎn)F在BA的延長(zhǎng)線上，連接FM，∠BFM的平分線FN交BD于點(diǎn)N，交AD于點(diǎn)G，點(diǎn)H為BF中點(diǎn)，連接MH，當(dāng)GN=GD時(shí)，探究線段CD、FM、MH之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

 

 

Answer 1

（1）見解析；（2）2MH=FM+CD．見解析

【解析】

試題分析：（1）由等式的性質(zhì)，可得∠APE=∠ADE，由等腰三角形的性質(zhì)，可得∠PAD=2β，由直角三角形的性質(zhì)，可得∠AEB+∠CBE=90°，由等式的性質(zhì)，可得∠ABC=∠ACB，再由等腰三角形的判定，可得答案；

（2）由相似三角形的判定與性質(zhì)，可得∠ABE=∠ACD，由等腰三角形的性質(zhì)，可得∠GND=∠GDN，由對(duì)頂角的性質(zhì)，可得∠AGF的度數(shù)，由三角形外角的性質(zhì)，∠AFG的度數(shù)，由直角三角形的性質(zhì)，可得BF與MH的關(guān)系，由等腰三角形的性質(zhì)，可得∠FRM=∠FMR，由平行線的判定與性質(zhì)，可得∠CBD=∠RMB，由相似三角形的判定與性質(zhì)，可得，由線段的和差，可得BR=BF﹣FR，再由等量代換，可得答案．

試題解析：（1）如圖1，作∠BAP=∠DAE=β，AP交BD于P，

設(shè)∠CBD=α，∠CAD=β，

∵∠ADB=∠CAD+∠ABD，∠APE=∠BAP+∠ABD，

∴∠APE=∠ADE，AP=AD．

∵AC⊥BD

∴∠PAE=∠DAE=β，

∴∠PAD=2β，∠BAD=3β．

∵∠BAD=3∠CBD，

∴3β=3α，β=α．

∵AC⊥BD，

∴∠ACB=90°﹣∠CBE=90°﹣α=90°﹣β．

∵∠ABC=180°﹣∠BAC﹣∠ACB=90°﹣β，

∴∠ACB=∠ABC，

∴△ABC為等腰三角形；

（2）2MH=FM+CD．

如圖2，

由（1）知AP=AD，AB=AC，∠BAP=∠CAD=β，

∴△ABP∽△ACD，

∴∠ABE=∠ACD．

∵AC⊥BD，

∴∠GDN=90°﹣β，

∵GN=GD，

∴∠GND=∠GDN=90°﹣β，

∴∠NGD=180°﹣∠GND﹣∠GDN=2β．

∴∠AGF=∠NGD=2β．

∴∠AFG=∠BAD﹣∠AGF=3β﹣2β=β．

∵FN平分∠BFM，

∴∠NFM=∠AFG=β，

∴FM∥AE，

∴∠FMN=90°．

∵H為BF的中點(diǎn)，

∴BF=2MH．

在FB上截取FR=FM，連接RM，

∴∠FRM=∠FMR=90°﹣β．

∵∠ABC=90°﹣β，

∴∠FRM=∠ABC，

∴RM∥BC，

∴∠CBD=∠RMB．

∵∠CAD=∠CBD=β，

∴∠RMB=∠CAD．

∵∠RBM=∠ACD，

∴△RMB∽△DAC，

∴，

∴BR=CD．

∵BR=BF﹣FR，

∴FB﹣FM=BR=CD，

FB=FM+CD．

∴2MH=FM+CD．

考點(diǎn)：1、等腰三角形的性質(zhì)與判定；2、直角三角形的性質(zhì)；3、相似三角形的判定與性質(zhì)；4、直角三角形的性質(zhì)