Question

如圖，已知拋物線y=ax²+bx﹣3與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為A（﹣1，0），另一個(gè)交點(diǎn)為B，與y軸的交點(diǎn)為C，其頂點(diǎn)為D，對(duì)稱軸為直線x=1．

（1）求拋物線的解析式；

（2）已知點(diǎn)M為y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△ACM是以AC為一腰的等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．

　

Answer 1

【考點(diǎn)】拋物線與x軸的交點(diǎn)；二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式．

【專題】計(jì)算題．

【分析】（1）利用對(duì)稱性可得B（3，0），則利用交點(diǎn)式得拋物線解析式為y=a（x+1）（x﹣3）=ax²﹣2ax﹣3a，所以﹣3a=3，解得a=1，于是得到拋物線解析式為y=x²﹣2x﹣3；

（2）分類討論：當(dāng)AC=AM時(shí)，易得點(diǎn)M₁（0，3），如圖；②當(dāng)CM=CA時(shí)，先計(jì)算出AC=，再以C點(diǎn)為圓心，CA為半徑畫弧交y軸于M₂，M₃，如圖，易得M₂（0，﹣1），M₃（0，﹣﹣3）．

【解答】解：（1）∵點(diǎn)A（﹣1，0）和點(diǎn)B關(guān)于直線x=1對(duì)稱，

∴B（3，0），

∴拋物線解析式為y=a（x+1）（x﹣3）=ax²﹣2ax﹣3a，

∴﹣3a=3，解得a=1，

∴拋物線解析式為y=x²﹣2x﹣3；

（2）當(dāng)AC=AM時(shí)，點(diǎn)M₁與點(diǎn)C關(guān)于x軸對(duì)稱，則M₁（0，3），如圖；

②當(dāng)CM=CA時(shí)，AC==，

以C點(diǎn)為圓心，CA為半徑畫弧交y軸于M₂，M₃，如圖，則OM₂=﹣1，OM₃=OC+CM₃=3+，則M₂（0，﹣1），M₃（0，﹣﹣3）．

綜上所述，滿足條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，3），（0，﹣1），（0，﹣﹣3）．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)：把求二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)問題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于x的一元二次方程．解決（2）小題的關(guān)鍵是利用等腰三角形的性質(zhì)畫出點(diǎn)M的坐標(biāo)．