【題目】 閱讀:我們約定,在平面直角坐標系中,經(jīng)過某點且平行于坐標軸或平行于兩坐標軸夾角平分線的直線,叫該點的“特征線”.例如,點M(1,3)的特征線有:x=1,y=3,y=x+2,y=﹣x+4.
問題與探究:如圖,在平面直角坐標系中有正方形OABC,點B在第一象限,A、C分別在x軸和y軸上,拋物線經(jīng)過B、C兩點,頂點D在正方形內(nèi)部.
(1)直接寫出點D(m,n)所有的特征線;
(2)若點D有一條特征線是y=x+1,求此拋物線的解析式;
(3)點P是AB邊上除點A外的任意一點,連接OP,將△OAP沿著OP折疊,點A落在點A′的位置,當點A′在平行于坐標軸的D點的特征線上時,滿足(2)中條件的拋物線向下平移多少距離,其頂點落在OP上?
【答案】(1)x=m,y=n,y=x+n﹣m,y=﹣x+m+n;(2);(3)拋物線向下平移或距離,其頂點落在OP上.
【解析】
試題(1)根據(jù)特征線直接求出點D的特征線;
(2)由點D的一條特征線和正方形的性質(zhì)求出點D的坐標,從而求出拋物線解析式;
(2)分平行于x軸和y軸兩種情況,由折疊的性質(zhì)計算即可.
試題解析:解:(1)∵點D(m,n),∴點D(m,n)的特征線是x=m,y=n,y=x+n﹣m,y=﹣x+m+n;
(2)點D有一條特征線是y=x+1,∴n﹣m=1,∴n=m+1.∵拋物線解析式為,∴,∵四邊形OABC是正方形,且D點為正方形的對稱軸,D(m,n),∴B(2m,2m),∴,將n=m+1帶入得到m=2,n=3;
∴D(2,3),∴拋物線解析式為.
(3)①如圖,當點A′在平行于y軸的D點的特征線時:
根據(jù)題意可得,D(2,3),∴OA′=OA=4,OM=2,∴∠A′OM=60°,∴∠A′OP=∠AOP=30°,∴MN==,∴拋物線需要向下平移的距離==.
②如圖,當點A′在平行于x軸的D點的特征線時,設(shè)A′(p,3),則OA′=OA=4,OE=3,EA′==,∴A′F=4﹣,設(shè)P(4,c)(c>0),,在Rt△A′FP中,(4﹣)2+(3﹣c)2=c2,∴c=,∴P(4,),∴直線OP解析式為y=x,∴N(2,),∴拋物線需要向下平移的距離=3﹣=.
綜上所述:拋物線向下平移或距離,其頂點落在OP上.
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【題目】射線QN與等邊△ABC的兩邊AB,BC分別交于點M,N,且AC∥QN,AM=MB=2cm,QM=4cm.動點P從點Q出發(fā),沿射線QN以每秒1cm的速度向右移動,經(jīng)過t秒,以點P為圓心,cm為半徑的圓與△ABC的邊相切(切點在邊上),請寫出t可取的一切值 (單位:秒)
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【題目】如圖,在等邊△ABC中,點D為△ABC內(nèi)的一點,∠ADB=120°,∠ADC=90°,將△ABD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得△ACE,連接DE.
(1)求證:AD=DE;
(2)求∠DCE的度數(shù);
(3)若BD=1,求AD,CD的長.
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【題目】已知k為實數(shù),關(guān)于x的方程為x2+(k+2)x+2k=1.
(1)判斷方程有無實數(shù)根.
(2)當方程的根和k都是有理數(shù)時,請直接寫出其中k的1個值和相應(yīng)方程的根.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,矩形ABCD中,∠ABC的平分線交AD邊于點E,點F是CD的中點,連接EF,若AB=8,且EF平分∠BED,則AD的長為_________
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【題目】如圖,在正方形ABCD中,△BPC是等邊三角形,BP、CP的延長線分別交AD于點E、F,連接BD、DP,BD與CF相交于點H,給出下列結(jié)論:①BE=2AE;②△DFP∽△BPH;③△PFD∽△PDB;④DP2=PHPC
其中正確的是( 。
A. ①②③④ B. ②③ C. ①②④ D. ①③④
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC中,AB=AC,以AB為直徑的⊙O與BC相交于點D,與CA的延長線相交于點E,過點D作DF⊥AC于點F.
(1)證明:DF是⊙O的切線;
(2)若AC=3AE,FC=6,求AF的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,△ACD沿AD折疊,使得點C落在斜邊AB上的點E處.
(1)求證:△BDE∽△BAC;
(2)已知AC=6,BC=8,求線段AD的長度.
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