Question

如圖，在△ABC中，∠C=90°，BC=5cm，⊙O與△ABC的三邊相切于點D、E、F，若⊙O的半徑為2cm，求△ABC的周長與面積．

Answer 1

考點：三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心

專題：計算題

分析：連接OD、OE、OF，如圖，利用切線的性質(zhì)得∠OEC=∠OFC=90°，則四邊形OECF為正方形，得到CE=CF=OE=2，BF=BC-CF=3，再根據(jù)切線長定理得BD=BF=3，AD=AE；在△ABC中，設(shè)AD=AE=x，根據(jù)勾股定理得到5²+（x+2）²=（x+3）²，解得x=10，則AC=12，AB=13，然后根據(jù)△ABC的周長和面積．

解答：解：連接OD、OE、OF，如圖，
∵⊙O為△ABC的內(nèi)切圓，
∴OE⊥AC，OF⊥BC，
∴∠OEC=∠OFC=90°，
而∠C=90°，
∴四邊形OECF為正方形，
∴CE=CF=OE=2，
∴BF=BC-CF=5-2=3，
∵⊙O為△ABC的內(nèi)切圓，
∴BD=BF=3，AD=AE，
在△ABC中，設(shè)AD=AE=x，
∵BC²+AC²=AB²，
∴5²+（x+2）²=（x+3）²，解得x=10，
∴AC=x+2=12，AB=x+3=13，
∴△ABC的周長=AB+AC+BC=13+12+5=30，
△ABC的面積=

1

2

AC•BC=

1

2

×12×5=30．

點評：本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心：與三角形各邊都相切的圓叫三角形的內(nèi)切圓，三角形的內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心，這個三角形叫做圓的外切三角形．三角形的內(nèi)心就是三角形三個內(nèi)角角平分線的交點．