如圖,直線y=﹣3x+3與x軸、y軸分別交于點A、B.拋物線y=a(x﹣2)2+k經(jīng)過A、B,并與x軸交于另一點C,其頂點為P,

(1)求a,k的值;

(2)在圖中求一點Q,A、B、C為頂點的四邊形是平行四邊形,請直接寫出相應(yīng)的點Q的坐標(biāo);

(3)拋物線的對稱軸上是否存在一點M,使△ABM的周長最。咳舸嬖,求△ABM的周長;若不存在,請說明理由;

(4)拋物線的對稱軸是上是否存在一點N,使△ABN是以AB為斜邊的直角三角形?若存在,求出N點的坐標(biāo),若不存在,請說明理由.


 解:(1)在y=﹣3x+3中,令y=0,可求得x=1,令x=0,

可求得y=3,

∴A(1,0),B(0,3),

分別代入y=a(x﹣2)2+k,可得,解得,

即a為1,k為﹣1;

(2)由(1)可知拋物線解析式為y=(x﹣2)2﹣1,

令y=0,可求得x=1或x=3,

∴C(3,0),

∴AC=3﹣1=2,AB=,

過B作平行x軸的直線,在B點兩側(cè)分別

截取線段BQ1=BQ2=AC=2,如圖1,

∵B(0,3),

∴Q1(﹣2,3),Q2(2,3);

過C作AB的平行線,在C點分別兩側(cè)截取CQ3=CQ4=AB=,如圖2,

∵B(0,3),

∴Q3、Q4到x軸的距離都等于B點到x軸的距離也為3,且到直線

x=3的距離為1,

∴Q3(2,3)、Q4(4,﹣3);

綜上可知滿足條件的Q點的坐標(biāo)為(﹣2,3)或(2,3)或(4,﹣3);

(3)由條件可知對稱軸方程為x=2,連接BC交對稱軸于點M,連接MA,如圖3,

∵A、C兩點關(guān)于對稱軸對稱,

∴AM=MC,

∴BM+AM最小,

∴△ABM周長最小,

∵B(0,3),C(3,0),

∴可設(shè)直線BC解析式為y=mx+3,

把C點坐標(biāo)代入可求得m=﹣1,

∴直線BC解析式為y=﹣x+3,

當(dāng)x=2時,可得y=1,

∴M(2,1);

∴存在滿足條件的M點,

此時BC=3,且AB=,

∴△ABM的周長的最小值為3+;

(4)由條件可設(shè)N點坐標(biāo)為(2,n),[來源:學(xué)科網(wǎng)]

則NB2=22+(n﹣3)2=n2﹣6n+13,NA2=(2﹣1)2+n2=1+n2,且AB2=10,

當(dāng)△ABN為以AB為斜邊的直角三角形時,由勾股定理可得NB2+NA2=AB2,

∴n2﹣6n+13+1+n2=10,解得n=1或n=2,

即N點坐標(biāo)為(2,1)或(2,2),

綜上可知存在滿足條件的N點,其坐標(biāo)為(2,1)或(2,2).

點評: 本題主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用,涉及待定系數(shù)法、平行四邊形的性質(zhì)、軸對稱的性質(zhì)、勾股定理等知識點.在(1)中求得A、B兩點的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵,在(2)中確定出Q點的位置是解題的關(guān)鍵,在(3)中確定出M點的位置是解題的關(guān)鍵,在(4)中設(shè)出N點坐標(biāo),利用勾股定理得到方程是解題的關(guān)鍵.本題涉及知識點較多,綜合性較強,難度適中.

 


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:


如圖,BD是菱形ABCD的對角線,CE⊥AB于點E,且點E是AB的中點,則的值是

  A.    B. 2    C.      D.

  

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活動1:

在一只不透明的口袋中裝有標(biāo)號為1,2,3的3個小球,這些球除標(biāo)號外都相同,充分?jǐn)噭,甲、乙、丙三位同學(xué)丙→甲→乙的順序依次從袋中各摸出一個球(不放回),摸到1號球勝出,計算甲勝出的概率.(注:丙→甲→乙表示丙第一個摸球,甲第二個摸球,乙最后一個摸球)

活動2:

在一只不透明的口袋中裝有標(biāo)號為1,2,3,4的4個小球,這些球除標(biāo)號外都相同,充分?jǐn)噭颍埬銓、乙、丙三名同學(xué)規(guī)定一個摸球順序:         ,他們按這個順序從袋中各摸出一個球(不放回),摸到1號球勝出,則第一個摸球的同學(xué)勝出的概率等于   ,最后一個摸球的同學(xué)勝出的概率等于   

猜想:

在一只不透明的口袋中裝有標(biāo)號為1,2,3,…,n(n為正整數(shù))的n個小球,這些球除標(biāo)號外都相同,充分?jǐn)噭,甲、乙、丙三名同學(xué)從袋中各摸出一個球(不放回),摸到1號球勝出,猜想:這三名同學(xué)每人勝出的概率之間的大小關(guān)系.

你還能得到什么活動經(jīng)驗?(寫出一個即可)

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已知k>0,且關(guān)于x的方程3kx2+12x+k+1=0有兩個相等的實數(shù)根,那么k的值等于 

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如圖1,一個圓球放置在V型架中.圖2是它的平面示意圖,CA、CB都是⊙O的切線,切點分別是A、B,如果⊙O的半徑為cm,且AB=6cm,求∠ACB.

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有四張分別畫有線段、等邊三角形、平行四邊形和正方形的四個圖形的卡片,它們的背面都相同,現(xiàn)將它們背面朝上,從中翻開任意一張的圖形是中心對稱圖形,但不是軸對稱圖形的概率是( 。

    A.                    B.                           C.                                 D.   1

 

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1989年以來,省委省政府、西寧市委市政府相繼啟動實施南北山綠化工程,經(jīng)過26年的綠化建設(shè),綠化面積、森林覆蓋率得到明顯提高,城市生態(tài)環(huán)境得到明顯改善,截止2015年兩山形成森林209300畝,將209300用科學(xué)記數(shù)法表示為  

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計算﹣2+1的結(jié)果是( 。

   A.﹣3          B. ﹣1             C. 3               D. 1

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:


如圖,過原點O的直線AB與反比例函數(shù)y=(k>0)的圖象交于A、B兩點,點B坐標(biāo)為(﹣2,m),過點A作AC⊥y軸于點C,OA的垂直平分線DE交OC于點D,交AB于點E.若△ACD的周長為5,則k的值為  

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