Question

如圖，直線(xiàn)y=﹣3x+3與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B．拋物線(xiàn)y=a（x﹣2）²+k經(jīng)過(guò)A、B，并與x軸交于另一點(diǎn)C，其頂點(diǎn)為P，

（1）求a，k的值；

（2）在圖中求一點(diǎn)Q，A、B、C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，請(qǐng)直接寫(xiě)出相應(yīng)的點(diǎn)Q的坐標(biāo)；

（3）拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在一點(diǎn)M，使△ABM的周長(zhǎng)最��？若存在，求△ABM的周長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（4）拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸是上是否存在一點(diǎn)N，使△ABN是以AB為斜邊的直角三角形？若存在，求出N點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

 解：（1）在y=﹣3x+3中，令y=0，可求得x=1，令x=0，

可求得y=3，

∴A（1，0），B（0，3），

分別代入y=a（x﹣2）²+k，可得，解得，

即a為1，k為﹣1；

（2）由（1）可知拋物線(xiàn)解析式為y=（x﹣2）²﹣1，

令y=0，可求得x=1或x=3，

∴C（3，0），

∴AC=3﹣1=2，AB=，

過(guò)B作平行x軸的直線(xiàn)，在B點(diǎn)兩側(cè)分別

截取線(xiàn)段BQ₁=BQ₂=AC=2，如圖1，

∵B（0，3），

∴Q₁（﹣2，3），Q₂（2，3）；

過(guò)C作AB的平行線(xiàn)，在C點(diǎn)分別兩側(cè)截取CQ₃=CQ₄=AB=，如圖2，

∵B（0，3），

∴Q₃、Q₄到x軸的距離都等于B點(diǎn)到x軸的距離也為3，且到直線(xiàn)

x=3的距離為1，

∴Q₃（2，3）、Q₄（4，﹣3）；

綜上可知滿(mǎn)足條件的Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣2，3）或（2，3）或（4，﹣3）；

（3）由條件可知對(duì)稱(chēng)軸方程為x=2，連接BC交對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)M，連接MA，如圖3，

∵A、C兩點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，

∴AM=MC，

∴BM+AM最小，

∴△ABM周長(zhǎng)最小，

∵B（0，3），C（3，0），

∴可設(shè)直線(xiàn)BC解析式為y=mx+3，

把C點(diǎn)坐標(biāo)代入可求得m=﹣1，

∴直線(xiàn)BC解析式為y=﹣x+3，

當(dāng)x=2時(shí)，可得y=1，

∴M（2，1）；

∴存在滿(mǎn)足條件的M點(diǎn)，

此時(shí)BC=3，且AB=，

∴△ABM的周長(zhǎng)的最小值為3+；

（4）由條件可設(shè)N點(diǎn)坐標(biāo)為（2，n），[來(lái)源:學(xué)科網(wǎng)]

則NB2=22+（n﹣3）2=n2﹣6n+13，NA2=（2﹣1）2+n2=1+n2，且AB2=10，

當(dāng)△ABN為以AB為斜邊的直角三角形時(shí)，由勾股定理可得NB2+NA2=AB2，

∴n2﹣6n+13+1+n2=10，解得n=1或n=2，

即N點(diǎn)坐標(biāo)為（2，1）或（2，2），

綜上可知存在滿(mǎn)足條件的N點(diǎn)，其坐標(biāo)為（2，1）或（2，2）．

點(diǎn)評(píng)： 本題主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法、平行四邊形的性質(zhì)、軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)．在（1）中求得A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵，在（2）中確定出Q點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵，在（3）中確定出M點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵，在（4）中設(shè)出N點(diǎn)坐標(biāo)，利用勾股定理得到方程是解題的關(guān)鍵．本題涉及知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，難度適中．