Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形的邊長(zhǎng)為6，點(diǎn)分別在正半軸上，點(diǎn)在第一象限．點(diǎn)是正半軸上的一動(dòng)點(diǎn)，且，連結(jié)，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度至，連結(jié)，取中點(diǎn)．

（1）當(dāng)時(shí)，求與的坐標(biāo)．

（2）如圖2，連結(jié)，以、為鄰邊構(gòu)造平行四邊形記平行四邊形的面積為．

①用含的代數(shù)式表示

②當(dāng)落在的直角邊上時(shí)，求的度數(shù)．

（3）在（2）的條件下，連結(jié)，記的面積為，若，則 (直接寫出答案)

Answer 1

【答案】（1），；（2）①，②或；（3）或．

【解析】

（1）過(guò)點(diǎn)Q作軸于點(diǎn)D，首先證明，則有，進(jìn)而可求出點(diǎn)F的坐標(biāo)，再結(jié)合點(diǎn)C的坐標(biāo)，即可求出M的坐標(biāo)；

（2）①根據(jù)（1）中的全等三角形的性質(zhì)得出M的坐標(biāo)，然后利用即可求出答案；

②分兩種情況：當(dāng)N在PC上時(shí)和當(dāng)N在PQ上時(shí)，分別利用全等三角形的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)求出∠CPM和∠MPA的度數(shù)，然后利用兩角的和與差即可得出答案；

（3）過(guò)點(diǎn)M作軸于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)Q作軸于點(diǎn)G，然后用含t的代數(shù)式表示出，然后分兩種情況：點(diǎn)P在A點(diǎn)左側(cè)和點(diǎn)P在A點(diǎn)右側(cè)，分別建立關(guān)于t的一元二次方程求解即可．

（1）過(guò)點(diǎn)Q作軸于點(diǎn)D，

∵，

．

∵正方形邊長(zhǎng)為6，

，

．

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得， ，

，

．

，

．

在和中，

，

，

，

．

，

；

（2），

，

．

∵C（0,6），

∴M．

①當(dāng)時(shí)，；

②當(dāng)N在PC上時(shí)，

∵點(diǎn)M的橫縱坐標(biāo)相等，

∴點(diǎn)M在對(duì)角線OB上，

連結(jié)OM，

在和中，

∴CM=AM．

在Rt△CPQ中，M為CQ的中點(diǎn)，

∴PM⊥CQ，∠CPM=∠MPQ=45°，PM=CM=MQ，

∴PM=AM．

∵點(diǎn)N在PC上，NP∥AM，∠CPQ=90°，

∴AM⊥PQ，

∴∠PMA=45°，又PM=AM，

∴∠MPA=，

∴∠CPA=45°+67.5°=112.5°；

當(dāng)N在PQ上時(shí)，同理可證MA=MP，∠AMP=45°，

∴∠MPA=，

∴∠CPA=67.5-45=22.5°，

綜上所述，當(dāng)點(diǎn)N在△CPQ的直角邊上時(shí)，∠CPA的度數(shù)為112.5°或22.5°；

（3）過(guò)點(diǎn)M作軸于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)Q作軸于點(diǎn)G，

當(dāng)時(shí)，即點(diǎn)P在A點(diǎn)左側(cè)時(shí)，如圖

，

，

解得或（舍去）；

當(dāng)時(shí)，即點(diǎn)P在A點(diǎn)右側(cè)時(shí)，

，

，

，

解得或（舍去），

綜上所述，t的值為或．